Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

(относительно воздуха) скорость кресла. Полагая кресло с пилотом материальной точкой, найти координаты точек пересечения траекторий кресла и самолета при пикировании с а = 0...30° .

Решение, Опасной при катапультировании является ситуация встречи кресла при его падении с самолетом. Поэтому движение кресла будем рассматривать в связанной с самолетом системе координат. Эта система отсчета движется поступательно и прямолинейно, но ускоренно, и поэтому является неинерциальной. Векторное уравнение движения кресла


= + Л + Ф

Рис. 13.7

где Р = mg , R = -iv = ~ц( + v), = -та , спроецируем на оси координат: тХ = -\х(Х -u)-mgsina\-ma; mY = -mgcosa-\xY,

т Jf + А = Mq + л/ - (gsin а - а)т, tY +К = -cosa, где т = т/ц = 5,0 с - постоянная времени.

Частное решение первого уравнения X = At-i- Bt/l; методом неопределенных коэффициентов находим константы В = а , А = Uqtgrsina . Частное решение второго уравнения Y = -cosa /.

В общем решении уравнений

Л = С, + Сз ехр(~ т) + (мо - gxsin а) t + at/l;

К = Сз + с4 ехр(- т)- cosa- / постоянные интегрирования определяем в соответствии с начальными условиями Х(0) = Г(0) = О , Л(О) = О, У(0) = Vo:

-С, = Cj = (uq - sina)T, с3 = -с4 = (vo + gTcosa)T .

Тогда уравнения движения примут вид

X = (uq- sin а)т[ т -1 + ехр(- т)] + at/l;

= (vq + cosa)T[l - ехр(~ т)] - gxcosa t.

Из условия К = О находим моменты времени, соответствующие точке пересечения траекторий кресла и самолета при различных углах а . Решив численно трансцендентное уравнение

У(1*) = (vo + cosa)T[l - ехр(-/* д)] - cosa /* = О,

(13.14)



из первого уравнения (13.14) определяем координату

X(t*) = (мо ~gTsina)T[rVT-l + exp(~rVT)] + a(r*)V2 .

Ниже приведены рассчитанные значения Г* и X* при различных углах а:

О 3,65 21,1

10 3,70 18,3

20 3,85 16,2

30 4,15 15,1

Таким образом, при падении кресла опасности его встречи с самолетом при а = 0...30° нет при условии, что расстояние от кабины до хвоста самолета менее 15 м.

Пример 13.8. Материальная частица М массой т движется в горизонтальной плоскости под действием лопатки вентилятора, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 13.8). Лопатка выполнена в виде дуги окружности, радиус которой равен радиусу г вала; центр С - окружности лежит на поверхности ва-

ла, а длины дуг АС и АВ равны между собой и соответствуют углу тс/З.

Движение частицы начинается от корня (положение А) лопатки с начальной относительной скоростью, полученной вследствие столкновения с лопаткой и равной Vq = cor/2 .

Пренебрегая трением о поверхность лопатки, определить относительную скорость, с которой частица отделится от лопатки, и нормальное давление ее на лопатку в этом положении.

Решение. Материальная частица (точка) совершает сложное движение. Переносным для нее является известное движение ротора. Требуется найти относительное движение точки вдоль лопатки. Система отсчета, связанная с вращающимся ротором, является неинерциальной, поэтому движение точки определяется векторным уравнением


Рис. 13.8

В проекциях на естественные оси

mdvldtФgcos(7c/6+ф/2);

(13.15)



гж vj =ds/clt, s = AM=r(p-, Ф,.=та)-ОМ, ОМ=2г5ш(я/6 + ф/2); Фк=2тсо\, .

Первое уравнение системы (13.15), определяющее движение точки, можно привести к виду

dvJdt = сог sin(7c/3 + ф). Полученное уравнение является нелинейным, однако, выполнив замену независимой переменной dvj/dt = (dvJdt)ds/(rd(p) = vdvJ(rd<p) и разделение переменных, можно найти его первый интеграл

v; = С - 2со cos(7i/3 + ф). В соответствии с начальными условиями (при ф = 0и5 = 0 = о)г/2 ) постоянная интегрирования

С = (сог/2)2 + 2coV2 cos(7i/3) = 5со г 74.

Таким образом, зависимость относительной скорости частицы от координаты имеет вид

= coV2[5/4 - 2cos(7c/3 + ф)]. В момент отделения от лопатки при ф = тс/З относительная скорость частицы v = V, (я/3) = Зо)г/2 и давление ее на лопатку

Q = -yv = 2mcov - m{vf/r = mcoV(3 - 9/4) = 0,75mcoV .

13.6. Равновесие и движение материальной точки относительно Земли

Все мы живем на Земле, поэтому задачи динамики движения материальных тел относительно Земли имеют исключительное значение. Так как к точности решения этих задач могут предъявляться самые различные требования, возникает необходимость установить, насколько существенным является отличие системы отсчета, связанной с Землей, от инерциальной.

Движение Земли относительно инерциальной гелиоцентрической системы отсчета является довольно сложным. Без учета эффектов, обусловленных влиянием Луны и планет Солнечной системы. Земля участвует в следующих движениях:

обращается вокруг Солнца по близкой к круговой орбите радиусом около 150 млн км;

вращается вокруг собственной оси с практически постоянной угловой скоростью, совершая один оборот в сутки.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка