Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

в соответствии с начальными для этапа падения условиями (= О при z-H) постоянная интефирования

Сз = 1п(м2)-2ЯД. Таким образом, зависимость проекции скорости точки от координаты имеет

у, = - 1-ехр[-2(Я-2)А], откуда скорость приземления точки

= v,(0) = Uyl\-Qxp(-2H/X) = u-Qxpi-lG) = 0,894 = 43,8 м/с.

Пример 13.3. Материальная точка массой т, находящаяся на некоторой высоте над поверхностью Земли, движется в условиях ветра, дующего равномерно со скоростью и. Сила сопротивления, действующая на точку со стороны

воздуха, R = -\xv, где ц = const > О, v, - скорость точки относительно воздуха. Точка начинает движение с начальной абсолютной скоростью vq

направленной горизонтально под прямым углом к скорости ветра.

Решение. Совместим начало системы отсчета с исходным положением точки, а связанные с Землей оси направим как показано на рис. 13.2. Векторное уравнение движения точки dv - -

= Р + R = mg-\x{v -и)


Рис. 13.2

в проекциях на координатные оси имеет вид

тх+цх = [iu; ту+ \ху = 0; mz+ \iz = mg .

Разделив эти уравнения на ц и обозначив т = т/\х, где т - постоянная времени, получим

тх + х = и; ту + у = 0; xz-\-z = gx.

Как видно, движение точки описывается системой несвязанных линейных дифференциальных уравнений, общее решение которой

л: = + С, + Cj ехр(- т); , 3/ = Сз + С4ехр(- т);

z = gT/ + C5 + Qexp(- T).

Определив с помощью начальных условий:

(0) = у{0) = z(0) = О, л:(0) = О, т = vo, z(0>= О ,



произвольные постоянные интефирования, приведем кинематические уравнения движения точки к виду

X = и/ - ит[\ - ехр(-г/т)]; 3/ = УоТ[1-ехр(~ т)];

Проекции скорости точки изменяются по закону v,=w[l-expHA)]; v. =Уоехр(- т); V, =gT[l-exp(- T)]. Из этих уравнений следует, что при / -> оо Vj, -> м , -> О, -> gr, т. е. со

временем точка будет двигаться практически в вертикальной плоскости с установившейся скоростью

V = ui + gxk .

13.4. Движение несвободной материальной точки

В рассмотренных выше задачах движение материальной точки определялось начальными условиями и взаимодействием ее с силовыми полями и окружающей средой. Все силы, приложенные к точке, выступали как заданные, т. е. как известные функции г, г и V . Взаимодействие с другими телами путем прямого контакта и связанные с этим взаимодействием какие-либо ограничения на движение в пространстве отсутствовали.

Если на движение материальной точки в пространстве не налагаются ограничения, то она называется свободной. Однако чаще движение материальной точки сопровождается непосредственным взаимодействием ее с другими материальными телами. Аналогично схематизации свойств материальных тел это взаимодействие также схематизируется в виде кинематических ограничений, налагаемых на движение. В такой ситуации точку называют несвободной, а условия, стесняющие свободу ее движения, - связями.

Связь, выраженная уравнением

f{x,y,z) = Q, (13.6)

является геометрической и означает, что точка движется по некоторой неизменной (время / в уравнение связи явно не входит) по-



верхности и не может ее покинуть ни в какую сторону. Геометрическая связь такого типа называется стационарной и неосво-бождающей. Освобождающие связи выражаются неравенствами. В случае движения по поверхности число степеней свободы материальной точки, определяемое числом независимых координат, необходимых для однозначного задания положения, меньше, чем у свободной точки, и равняется двум. Еще меньшим будет число степеней свободы, если на точку наложены две связи. Это означает, что при движении точка должна все время оставаться на линии пересечения поверхностей обеих связей.

Так как в соответствии с аксиомой о связях последние могут быть отброшены, а их действие заменено соответствующими силами, уравнение динамики несвободной материальной точки примет вид

m - = F + R. (13.7)

Здесь к активным силам, равнодействующая которых F , добавляется динамическая реакция связи R . Реакция R является пассивной силой, так как зависит от приложенных к точке активных сил, физических свойств связи и движения точки. Последнее определяет ее отличие от реакции связи в статике, что подчеркивается ее названием.

Реакцию связи R можно всегда разложить по двум направлениям на составляющие, одну из которых N направить по нормали к поверхности связи, определяемой (13.6), а другую - в плоскости, перпендикулярной к нормали. Если второй составляющей пренебречь, то поверхность можно считать абсолютно гладкой, а связь - идеальной. В этом случае реакцию связи представляют в виде = A.grad(/), где Х = N/gmd(f) - скалярный коэффициент, называемый множителем связи. Векторное уравнение движения несвободной точки с идеальной связью принимает вид

dv

m- = F + Xgrad(f). at

В проекциях на оси декартовой системы координат получаем уравнения



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка