для определения которых потребуется постановка дополнительных условий. Из математики известно, что если эти условия поставлены для начальных (при / = О) значений функций и их первых производных, т. е. в виде х(0) = Xq , у{0) = yQ, z(0) = Zq , х(0) = Xq , >(0) = у, z(0) = Zq , то задача (задача Коши) при некоторых ограничениях, налагаемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и причем единственное. Таким образом, приложенные к точке силы определяют только ее ускорение, движение же точки помимо сил зависит от начальных условий - положения точки в рассматриваемой инерциальной системе отсчета и ее скорости.

Замечание. Первым интегралом системы дифференциальных уравнений (13.3) называется функция Ф(/, х, у, z, х, у, z), зависящая от координат, скоростей и времени, сохраняющая постоянное значение для любого конкретного решения системы. Выражение

с1Ф\ дФ дФ . дФ . дФ . 1

+-JC +-у +-Z + -

dt I dt дх ду dz т{дх ду dz

называется производной по времени функции Ф(/, х, у, z, х, у, z), вычисленной в силу дифференциальных уравнений (13.3). Аналогичные определения можно дать для любой произвольной системы дифференциальных уравнений.

В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что функция Ф будет первым интегралом системы дифференциальных уравнений тогда и только тогда, когда ее производная, вычисленная в силу этих уравнений, будет тождественно равняться нулю.

Для того чтобы полностью найти закон движения материальной точки, достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов. Действительно, пусть

ф1(/, X, у, Z, л:, у, z) = Ci;

Фб(/, X, у, Z, X, у, z) = c6

- шесть независимых первых интегралов системы (13.3). Так как по условию ф1, Фб - функционально независимы, то, определяя jc, у, z, л:, у, z как

функции / и шести констант Q, Q, получаем общее решение системы (13.3) в виде

x = x(t, Q, Q); y = y(t, Q, Q); z = z(t, C Q); x = x(t, Ci, Q); > = Ж Ci, Q); i = i(/, C Q).

Отметим, что знание одного первого интеграла системы позволяет понизить ее порядок на единицу.

Возможность пол5ить аналитическое решение задачи для произвольных начальных условий суш;ествует не всегда и зависит от того, насколько сложна система дифференциальных уравнений. Даже при одномерном движении точки в соответствии с уравнением

mx = F

в сл5ае, когда = F (/, х, х) является произвольной функцией всех своих переменных, аналитическое решение выполнить не удается. В таких ситуациях приходится обращаться к приближенным и численным методам интегрирования.

Пример 13.2. Материальная точка М, имеющая массу т = 4,9 кг, брошена с поверхности Земли с начальной скоростью, направленной вертикально и равной Vq=98,0 м/с. Сила сопротивления воздуха R=-\XVV (R = \xv), где а =

= 0,02 Н с / м. Определить, на какую высоту Н над поверхностью Земли и за какое время поднимется точка, а также какова будет скорость ее приземления.

Решение. Систему отсчета, связанную с Землей, при исследовании кратковременных движений можно считать достаточно близкой к инерциальной. Направим ось Oz системы отсчета вертикально, совместив ее начало с начальным положением точки (рис. 13.1). Сила тяжести Р = mg .

Векторное дифференциальное уравнение движения точки

dv -т- = mg + R dt

в проекции на ось Oz имеет вид

mz = -mg-\xz

- при подъеме (= i > О ) и Q

М Р R

mi - -mg +

- при падении (< О, v = -v). Рис. 13.1

Полученные дифференциальные уравнения являются нелинейными, поэтому решать их будем методом понижения порядка и разделения переменных. Разделим в уравнениях все члены на коэффициент \х и введем обозначения:

X, = m/Li = 245,0 м - характерная постоянная расстояния; =gX-mg/\i =

= 2401 м/с - квадрат предельной скорости падения точки ( = 49 м/с ) под действием силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости (при такой скорости силы уравновешиваются R = mg).

Дифференциальное уравнение движения точки на этапе подъема примет вид

= -g;.-v/=-( +v/). ш

Разделив переменные, представим уравнение в виде

где т = Х/и = 5,0 с - характерная постоянная времени. Интегрируя, находим

arctg(vyM) = С,- г. В соответствии с начальными условиями движения (при / = О = Vq ) постоянная интегрирования С, = arctg(vo/M). Время подъема точки до крайнего верхнего положения, в котором = О,

= т С, = т arctg(vo/M) = 5 arctg2 = 5,54 с. Для определения высоты подъема выполним замену независимой переменной dvjdt = (dv/dt)(dz/dz) = (dz/dt)(dvjdz) = v(dv2/dz) и представим дифференциальное уравнение движения в виде

Общее решение этого уравнения будет

(V2)ln(w4v?) = Q-z. В соответствии с начальным условием = Vq при z = О постоянная интегрирования Cj = {Х/2)\п(и + Vq ). В высшей точке подъема = О, и высота

Н = (X/2)\n(\ + vl/u) = 122,5In5 197 м.

Для определения скорости приземления в дифференциальном уравнении, описывающем движение точки на этапе падения, произведем замену независимой переменной и разделим переменные:

.-=-.

в общем решении 1п(м ~ ) = с3 + 2z/A. 278