в. Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за начало координат. Тогда всякой частице тела объемом ДК, определяемой радиус-вектором , будет соответствовать частица

такого же объема с радиус-вектором - , симметричная ей отполз

сительно центра О, Поэтому г =гДК =0. Следовательно,

центр тяжести будет находиться в центре симметрии. Например, центры тяжести однородных куба, сферы, кольца, прямоугольной или круглой пластины лежат в геометрическом центре этих тел.

2. Метод разбиения. Этот метод основан на применении формул (11.3) и (11.4). Его используют, когда тело можно разбить на ряд частей, центры тяжести которых известны из условий симметрии. Метод разбиения можно наглядно проиллюстрировать с помощью рис. 11.5. Расположив тело в системе координат, разделив его мысленно на отдельные части, веса которых Р Р3, Р4, а центры тяжести известны,

вычислим вес тела и, согласно формулам (11.4), координаты центра тяжести С всего тела.

Если тело имеет вырез, причем известны центр тяжести тела без выреза и центр тяжести вырезанного тела, то для определения координат центра тяжести используют метод отрицательных масс (частный случай метода разбиения).

На рис. 11.6 изображена квадратная пластина, сторона которой а, В пластине выполнено

Рис. 11.5

Рис. 11.6

круглое отверстие с радиусом г = 0,2а и координатами центра л2 = -0,3а; У2=0 .

Координаты центра тяжести С, пластины без отверстия jc, = О, > = О. Рассмотрим два тела: пластину без отверстия и диск, соответствующий вырезанному отверстию. При использовании формул (11.4) вес диска будем считать отрицательным. Тогда

.р)=Р[а .0-яг(-0,За)1-

где р - вес единицы площади пластины.

3. Метод интегрирования. Когда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют метод интегрирования, являющийся универсальным.

11.4. Определение центра тяжести простейших однородных тел

1. Центр тяжести дуги окружности (рис. 11.7). Рассмотрим дугу окружности радиусом R с центральным углом 2aQ. Центр тяжести дуги лежит на оси симметрии Ох. Для определения координаты выделим элемент дуги длиной ds и запишем

x(S = jxds= JRcosaRda,

где 5 = Л 2ао.

Выполнив интегрирование, найдем

= -iJsinaQ. ао

2. Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 11.8) на узкие полоски, параллельные стороне AD. Центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE, Следовательно, центр тяжести площади всего треугольника также лежит на этой медиане. Проводя аналогичные

разбиения параллельно сторонам АВ и 5Д найдем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке С пересечения его медиан, поэтому

ВС = {2/3)ВЕ.