той d = r sm{k , г). Сила F тоже остается постоянной, следовательно, величина (rxF) не зависит от положения точки О.

Моменту силы относительно оси можно дать другое определение: моментом сшы F относительно произвольной оси Oz называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси Oz, взятый относительно точки О пересечения оси с плоскостью П (рис. 8.21). При этом момент силы рассматривается как скалярная величина

M,(F) = ±FnA = M/Fn), (8.11)

для которой берется знак + , если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, стремится вращать тело вокруг оси противоположно часовой стрелки, и знак - в противном случае. В формуле (8.11) Mq{Fyi) = ± Fxih есть алгебраический момент

силы jFn относительно точки Оу.

Рис. 8.20

Покажем, что моменты силы относительно оси, вычисленные по формулам (8.10) и (8.11), являются одинаковыми. Так как угол а между нормалями к плоскостям ОАВ и OiAB есть угол между этими плоскостями, то

2 пл. АОАВ = 2 пл. АОАВ cos а. Отсюда получаем

M,(F) = M(F)cosa.

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось или сила и ось параллельны, т. е. находятся в одной плоскости.

Пример 8.4. На консольный брус длиной / и шириной а действуют силы F и (рис. 8.22). Определить моменты этих сил относительно координатных осей Ох, Оу, Oz.

Рис. 8.22

Решение. Линия действия силы F пересекает ось Оу, поэтому My(F) = 0.

Чтобы вычислить моменты силы F относительно осей Ох и Oz, спроецируем ее на плоскости, перпендикулярные этим осям, т. е. на плоскости Oyz и Оху.

Сила F, на плоскости Oxz и Oyz проецируется в натуральную величину. С учетом правила определения момента силы относительно оси получаем M,(F,)-M,(F)=-F,UFJ-= (F sin а - )/; Му{Ц) = Г,а/2, M(F) = \F,\l = Fl cosa.

Моменты силы относительно осей декартовой системы координат

Момент Mq{F) относительно начала координат (см. (8.7)) можно представить в виде

i j к

MoiF) = M,(F)J + M(F)j + M,(F)k X у z.

Fy F,

Раскрывая определитель по элементам верхней строки, получаем в виде множителей при у, к проекции момента Mq(F) на оси координат, равные моментам силы относительно осей:

MAF) = yF,-zF;

My(F) = zF,-xF,; (8.12)

M,iF) = xF-yF,.

Таким образом, чтобы вычислить моменты силы F относительно осей координат, надо знать координаты л:, у, z точки приложения силы и проекции самой силы на эти оси , Fy,

(рис. 8.23).

Пример 8.5. К торцу горизонтального Г-образного бруса в точке А приложена сила F (рис. 8.24). Определить моменты силы F относительно осей координат с началом в центре заделки.

Решение. Вычислим координаты точки приложения силы:

x = l2+b , у = /,+/>, z = a . Определим проекции силы F на оси координат

F=0, F=-Fcosa, f;=-Fsina. Согласно формулам (8.12), находим

M(F) = -(/, + Z))Fsina + aFcosa ,