Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (скрепленной с телом) системы координат будут равны

(Ох =vi/sin6sin9 + 6cos9;

щ =vi/sin6cos9-6sin9; (4.8)

(Oz =х/со89 + ф.

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера, Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела с5, углами Эйлера \/, 0, ф и их первыми производными по времени.

Подстановка (4.8) в (4.7) и дает искомые проекции вектора V на оси координат OXYZ.

Скорости точек тела, лежащих на мгновенной оси (см. рис. 4.9), в рассматриваемый момент времени равны нулю, и их проекции на оси координат должны удовлетворять следующим уравнениям:

(OyZ -(oY = 0; (оХ -(OxZ = 0; (oY-(ОуХ-О,

2 (4.9)

(Ох (Оу (Oz

Соотношения (4.9) являются уравнениями прямых, проходящих через начало координат, и представляют собой уравнения мгновенных осей вращения тела в подвижной системе координат. Если величины, входящие в (4.9), рассматривать как функции времени, то эти соотношения будут представлять собой параметрическую ощ уравнений подвижного аксоида.

Для неподвижной системы координат Oxyz в формулы (4.7) и (4.9) вместо (О;, (Оу, (о и X, 7, Z нужно подставить (о, (Оу,

со и х, у, Z, т. е. проекции угловой скорости с5 и радиус-вектора г точки тела на неподвижные оси Ох, Оу, Oz.

Если положение мгновенной оси вращения установлено, то для определения модуля угловой скорости тела со в данный момент времени достаточно модуль скорости какой-либо точки тела в тот же момент времени разделить на кратчайшее расстояние от нее до мгновенной оси вращения тела.



Пример 4.L Найти неподвижный и подвижный аксоиды и угЛовую скорость кон>са высотой Н и углом полураствора при вершине а (рис. 4.11), если кон\ с катится по горизонтальной неподвижной плоскости без скольжения, его вершина О неподвижна, а скорость v центра С его основания постоянна.


Рис. 4.11

Решение. Так как движение конуса происходит без скольжения, то скорость его точки А контакта с неподвижным основанием равна нулю. Неподвижной точкой является и точка О. Следовательно, прямая OA - мгновенная ось вращения конуса.

Геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижной системе координат Oxyz - плоскость Оху, по которой катится конус (неподвижный аксоид). В подвижной же системе, связанной с конусом, геометрическое место мгновенных осей образует коническую поверхность, совпадающую с поверхностью самого конуса (подвижный аксоид).

Так как v = юЛ, а h - СЕ = Hsina , то

0) =

Я sin а

Если вектор скорости точки С конуса направлен в сторону, указанную на рис. 4.11, то вектор его мгновенной угловой скорости направлен от вершины конуса к основанию по мгновенной оси вращения OA,

Учитывая, что скорость какой-либо точки тела, с одной стороны, есть первая производная по времени от ее радиус-вектора



г , проведенного из неподвижной точки тела, а с другой - определяется векторной формулой Эйлера (4.9), можно записать

- = сохг. (4.10)

Поскольку модуль радиус-вектора г - расстояние между двумя точками М w О твердого тела - постоянен (см. рис. 4.9), равенство (4.10) можно рассматривать как формулу для вычисления производной по времени от вектора постоянного модуля, изменение которого сводится лишь к его повороту вокруг неподвижной точки. Если взять в качестве таких векторов единичные векторы 7, J, АГ подвижной системы координат OXYZ, вращающейся с угловой скоростью со (см. рис. 4.9), то

- = сох7; = coxJ; = сохАГ. (4.11) dt dt dt

Формулы (4.11) называют формулами Пуассона.

4.6. Ускорения точек тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О, и выберем в нем какую-либо точку Л/(рис. 4.12). Если в данный момент времени скорость точки тела равна v , то ее ускорение может быть выражено формулой

a=dvldt.

Полагая v = ю х г , запишем

dv d (ico dr

а = - = -(сохг) =-хг + сох - .

dt dt dt dt

Поскольку d/dt = г, й d r/dt = v = ш x г , то

a = 8xr + wxv. (4.12)

Установленное соотношение называют формулой Ривальса. Она дает представление о распределении ускорений точек в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Ускорение а есть сумма двух ускорений. Первое

азр=8хг (4.13)

называют вращательным ускорением, второе



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка