заменить производной, так как угол поворота вокруг мгновенной оси вращения не выражается скалярной функцией времени и дифференциала этого угла не существует*.

Очевидно, что тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых в случае использования углов Эйлера определяются следующим образом: цгк - вектор угловой скорости прецессии; Qn - вектор угловой скорости нутации; фАГ - вектор угловой скорости собственного вращения, где к,

п , К - единичные векторы осей Oz, ОК и 0Z соответственно (рис. 4.7). Поскольку названные оси пересекаются в точке О, то, как будет показано в гл. 7 этого раздела, абсолютное совокупное Движение тела представляет собой в каждый момент времени вращение вокруг мгновенной оси, проходящей

Рис. 4.7

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (частный случай сферического движения тела) этот предел равен производной от угла поворота тела вокруг его оси вращения (см. гл. 2).

через точку пересечения названных осей, с мгновенной угловой скоростью с5, равной векторной сумме угловых скоростей составляющих движений:

75 = (рК + Qn+yk. (4.5)

Ось, совпадающая с вектором с5, является мгновенной осью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О.

Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени не только по величине, но и по направлению. Это изменение оценивается производной по времени и называется мгновенным угловым ускорением тела:

dJo

8=-.

Рис. 4.8

Вектор 8 направлен параллельно касательной к годографу вектора угловой скорости ш и не совпадает с вектором ш из-за

изменения направления последнего, в чем нетрудно убедиться, представив вектор с5 как произведение со на единичный вектор cOq , т. е. ю = cooOq . Тогда

8 =-=-(СОСОо) = - СОо +С0-

dt dt dt dt

8 = 8, +82,

где 8, = - cOq - составляющая 8, направленная вдоль мгновен-dt

ной оси вращения и характеризующая изменение ю по величине;

©0 - -

г 2 =(0-- -составляющая 8, перпендикулярная вектору cOq и

характеризующая изменение оэ по направлению (8,182).

Условимся вектор мгновенного углового ускорения 8 откладывать от неподвижной точки О тела (рис. 4.8).

4.5. Скорости точек тела. Кинематические уравнения Эйлера

Поворот тела за малый промежуток времени А/ на угол Ау

вокруг мгновенной оси вращения приводит к изменению проведенного из неподвижной точки тела радиус-вектора г на величину JSr . Это изменение, если пренебречь изменением положения мгновенной оси вращения тела за рассматриваемый малый промежуток времени А/, с точностью до величин второго порядка малости может быть выражено так (см. рис. 4.6):

ar=(ayz)xr,

а его модуль

дг = ayrsinp = дуа.

Разделим обе части приведенной зависимости на А/ и найдем пределы, устремив А/ к нулю:

lim - = lim

- Кхг = lim - {AtJ

= lim

Д/->0