из одного заданного положения в другое может быть осуществлено различными способами, в частности путем изменения углов Эйлера при последовательных поворотах вокруг соответствующих осей.

Докажем теорему о конечном перемещении твердого тела.

Теорема Эйлера-Даламбера. Самое общее конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, есть вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через эту точку.

Доказательство, Возьмем в теле две точки А и В, равноудаленные от неподвижной точки О, но не лежащие с ней на одной прямой. Проведем через точки А и В сферу с центром в неподвижной точке О (рис. 4.5). Пусть в результате конечного перемещения тела точки А и В займут положения А, и Bj.

Рис. 4.5

Соединим дугами больших кругов, проведенных из неподвижной точки, между собой А и В, А и В, А и А В и В. Очевидно, АВ = AjBj (как расстояния между точками твердого тела).

Из середин дуг ВВ и АА (точек ВиС) проведем к этим дугам сферические перпендикуляры - дуги больших кругов, плоско-

сти которых перпендикулярны плоскостям дуг-41 и ВВ . Перпендикуляры пересекутся в точке Р сферы. В построенных таким

образом сферических треугольниках АРА и ВРВ АР-АР, а

ВРВР как дуги, имеющие равные проекщш. Следовательно, сферические треугольники АРВ и АРВ равны (по трем сторонам), и при повороте тела вокруг оси, проведенной через точки Р и неподвижную О, сферический треугольник АРВ, перемещаясь по сфере, совпадет с треугольником АРВ. Что доказывает теорему.

Ось ОР называют осью конечного вращения. Для любых двух положений тела имеет место своя ось конечного вращения, проходящая через неподвижную точку. Ось, вокруг которой следует вращать тело для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения.

Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Отсюда следует, что движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно представить непрерьшной последовательностью его вращений вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через неподвижную точку. Положение мгновенной оси вращения тела не остается неизменным: в различные моменты времени она занимает различные положения в пространстве, но всегда проходит через неподвижную точку.

Геометрическое место мгновенных осей вращения в пространстве неподвижных осей координат называется неподвижным аксоидом и является конической поверхностью (в частном случае правильной) с вершиной в неподвижной точке. Геометрическое место мгновенных осей вращения в движущемся теле называется подвижным аксоидом. Как и неподвижный, подвижный аксоид в общем случае сферического движения тела представляет собой коническую поверхность с вершиной в не-

подвижной точке тела. При вращении твердого тела связанный с ним подвижный аксоид перекатывается по неподвижному так, что в каждый момент времени он касается неподвижного аксоида по общей образующей ОР, являющейся мгновенной осью вращения тела.

4А Мгновенные угловая скорость и угловое ускорение

На основании теоремы Эйлера-Даламбера о мгновенной оси вращения тела положим, что за малый промежуток времени Аг поворот тела вокруг оси характеризуется углом А7. Введем единичный вектор К, лежащий на этой оси вращения тела и направленный так, что с конца его поворот тела на Аф виден происходящим против направления движения часовой стрелки. Тогда мгновенную угловую скорость тела в сферическом движении как характеристику изменения угла его поворота вокруг мгновенной оси вращения можно определить как:

ДY -

со= lim-

А/- 0

Вектор ю лежит на мгновенной оси вращения тела и его считают приложенным в неподвижной точке. Поэтому мгновенная ось вращения тела есть предельное при Дг-О положение оси, вокруг которой был совершен поворот на угол А7

(рис. 4.6). Модуль угловой скорости

(4.4)

00 =

А/->0 Д

в приведенных формулах в общем случае предел используемого отношения Ду/Дг нельзя