3.8. Мгновенный центр ускорений

При определении скоростей точек плоской фигуры было установлено, что в каждый момент времени существует такая точка Р фигуры (МЦС), скорость которой равна нулю. Покажем, что в каждый момент времени существует точка фигуры, ускорение которой равно нулю. Такая точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ). Обозначим ее через Q.

Рассмотрим плоскую фигуру, совершающую движение в плоскости рисунка (рис. 3.12). Примем за полюс какую-либо точку А, модуль и направление ускорения которой известны

в рассматриваемый момент времени. Пусть в этот момент времени известны угловая скорость ш и угловое ускорение 8 фигуры. Из формулы (3.6) следует, что точка Q будет МЦУ, если + clqa = о , т. е. когда = -aQ.. Так как вектор а состав-

ляет с линией AQ угол а (tga = 8/a) ), то параллельный ему вектор направлен к линии, соединяющей полюс а с точкой Q, также под углом а (см. рис. 3.12).

Проведем через полюс А прямую MN, составляющую с вектором его ускорения угол а, откладываемый от вектора в направлении дуговой стрелки 8. Тогда на луче AN найдется точка <Э, дня которой Яд = -ад .

Поскольку, согласно (ЗЛО), ад = Ал/е , то точка Q (МЦУ) будет отстоять от полюса А на расстоянии

AQ= , (ЗЛ2)

Таким образом, в каждый момент движения плоской фигуры, если (О и г не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. В каждый последующий момент времени МЦУ плоской фигуры будет находиться в различньгх ее точках.

Если МЦУ - точку Q выбрать за полюс, то ускорение любой точки А плоской фигуры

Дд =aQ +aQ =aQ,

так как ад=0. Тогда

=ао =еАл/ен-а) . (ЗЛЗ)

Ускорение а составляет с отрезком QA, соединяющим эту точку с МЦУ, угол а, откладываемый от QA в сторону, противоположную направлению дуговой стрелки углового ускорения 8 (см. рис. 3.12).

Ускорения точек фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от МЦУ до этих точек (см. (3.13)).

Таким образом, ускорение всякой точки фигуры при. ее плоском движении определяется в данный момент времени так же, как и при вращательном движении фигуры вокруг МЦУ.

Выше (см. пример 3.3) было показано, что при качении колеса по прямой без скольжения ускорение его МЦС не равно нулю. Следовательно, в общем случае МЦС и МЦУ являются разными точками плоской фигуры.

Рассмотрим сл5аи, когда положение МЦУ можно определить с помощью геометрических построений.

1. Пусть ювестны направления ускорений двух точек плоской фигуры, ее угловые скорость и ускорение (рис. 3.13). Тогда МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к векторам ускорений точек фигуры под одним и тем же острым уг--лом

a = arctg-90,

отложенным от векторов ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения.

Рис. 3.13

2. Пусть известны направления ускорений хотя бы двух точек плоской фигуры, ее угловое ускорение 8 = О, а угловая скорость со 90. Это возможно, например, когда плоская фигура вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью или е = О в какой-либо момент времени. Тогда

tga = 8/co =0, а = 0,

и МЦУ лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения ее точек (рис. 3.14), а сами ускорения направлены к этому центру, так как они представлены лишь нормальными составляющими от вращения фигуры вокруг МЦУ. Следовательно, расстояния от них до МЦУ будут