л 2 3

Разделив первое равенство на второе, получим

аЦт : ~ М + т, ~\+mjM

т. е. третий закон Кеплера носит приближенный характер и выполняется постольку, поскольку массы планет и малы по сравнению с массой Солнца Mq .

22.6. О задаче п тел и о других задачах небесной механики

Задача п тел ( > 3) является одной из наиболее известных проблем классической динамики. В ней рассматривается движение п материальных точек в пространстве под действием сил взаимного гравитационного притяжения и требуется определить положения всех точек в произвольный момент времени, если в момент t = tQ заданы их координаты и скорости. В указанной постановке эта задача не решена и до сих пор. Исследования этой задачи, а особенно задачи трех тел ( = 3), оказали огромное влияние на развитие всей динамики. Многие из наиболее важных результатов современной динамики в той или иной степени связаны с этой задачей.

При решении различных проблем космонавтики и астрономии большую роль играет так называемая ограниченная задача трех тел. Она заключается в изучении движения точки, имеющей малую массу в поле тяготения двух тел (материальных точек), массы которых конечны. Предполагается, что точка малой массы не оказывает влияния на движение тел конечной массы, которые движутся по орбитам, определяемым в задаче двух тел, т.е. движение тел конечной массы считается известным. Эта задача гораздо проще общей (неограниченной) задачи трех тел. Но и она до конца не проинтегрирована, хотя для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с очень высокой степенью точ-

ности. Примерами ограниченной задачи трех тел являются задачи движения систем Земля - Луна - спутник, Солнце - планета -комета и т. д.

Важнейшими проблемами небесной механики являются следующие:

1) определение движения центров масс небесных тел;

2) нахождение движения небесных тел вокруг их центров масс.

Если вопросы, относящиеся к первой проблеме, разработаны в научной и учебной литературе достаточно хорошо и имеют многолетнюю историю, то работы, связанные со второй проблемой, опубликованы в основном за последние два-три десятилетия в научных журналах и являются менее доступными.

Следует отметить, что задачи, в которых изучается движение небесных тел вокруг их центров масс, сформулированы либо в ограниченной постановке (движение их центров масс считается известным), либо в обшей или неограниченной постановке (дифференциальные уравнения поступательных движений центров масс и вращений вокруг центров масс взаимосвязаны и решаются совместно).

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...............................................................................................................5

Введение .....................................................................................................................6

Некоторые сведения из теории векторов.............................................................9

8.1. Скалярные и векторные величины. Единичные векторы ......................9

8.2. Проекции вектора на ось и плоскость...................................................11

8.3. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора. Радиус-вектор точки............................................................................................12

8.4. Сложение и вычитание векторов...........................................................14

8.5. Умножение векторов ..............................................................................16

8.6. Векторы и матрицы.................................................................................24

8.7. Связь между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем координат....................................................................................29

8.8. Вектор-функция, Годограф вектора. Дифференцирование

вектора по скалярному аргументу.........................................................32

Раздел 1. КИНЕМАТИКА

Глава 1. Кинематика точки ..............................................................................39

1.1. Скорость точки ........................................................................................39

1.2. Ускорение точки ......................................................................................41

1.3. Векторный способ задания движения точки .........................................44

1.4. Координатный способ задания движения точки...................................44

1.5. Естественный способ задания движения точки ....................................61

Глава 2. Простейшие движения твердого тела.............................................70

2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей ............................70

2.2. Поступательное движение твердого тела..............................................73

2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси...............................75

Глава 3. Плоское движение твердого тела.....................................................85

3.1. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное

и вращательное движения.......................................................................85

3.2. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении....................................................87

3.3. Скорости точек тела при плоском движении ........................................89

3.4. Мгновенный центр скоростей.................................................................90

3.5. Мгновенный центр вращения. Центроиды............................................94