Переменная ф в небесной механике называется истинной аномалией, переменная Е - эксцентрической аномалией, соотношение между ними определяется формулой tg {Ejl) = kt% (ф/2).

Уравнения движения по параболической и гиперболической орбитам выводятся аналогично.

Таким образом, общее решение задачи о движении материальной точки под действием силы притяжения к неподвижному центру по закону всемирного тяготения зависит от шести произвольных констант, определяемых начальными условиями. Форма, размеры и положение орбиты в ее плоскости определены, если известны эксцентриситет е, фокальный параметр р (или полуоси аиЬ для случая эллиптической орбиты) и угол фо, образуемый осью конического сечения с полярной полуосью. Кроме того, необходимо знать положение плоскости орбит>1 в пространстве, которое задается направлением векторной константы площадей.

В небесной механике для задания орбиты и движения по ней точки широко используются так называемые кеплеровские элементы. Помимо параметров е ирк ним относятся (рис. 22.2): х - время прохождения через перицентр; Q - долгота восходящего узла - угол, который составляет с осью Ох линия пересечения плоскости орбиты с плоскостью Оху; i - наклонение орбиты - двугранный угол между плоскостью орбиты и плоскостью Оху.

Восходящий узел

Наконец, параметр w определяет положение орбиты в ее плоскости и называется угловым расстоянием перицентра Р от узла; он равен углу между направлением на перицентр и линией пересечения плоскости орбиты с плоскостью Оху,

22.5. Задача двух тел

В рассмотренной выше задаче центр тяготения считался неподвижным по отношению к некоторой инерциальной системе отсчета. Рассмотрим теперь две материальные точки с массами /W и т2 соответственно, движущиеся под действием сил взаимного притяжения.

Для получения уравнений движения введем инерциальную систему отсчета Oxyz. Положения материальных точек О и М

определены радиус-векторами г, и F2 соответственно (рис. 22.3). Положение точки М относительно О зададим радиус-вектором г .

Рис. 22.3

Запишем уравнения движения точек в инерциальной системе отсчета Oxyz:

Так как г - , то отсюда следует, что

Если ввести обозначение

ц = (22.16)

то получим

Дифференциальное уравнение (22.17) описывает движение точки М в подвижной системе отсчета OXYZ (где оси системы OXYZ параллельны соответствующим осям системы 0,jcyz). Это уравнение также можно интерпретировать как дифференциальное уравнение движения точки М относительно неподвижного притягивающего центра О под действием центральной силы

F =-\Ш2г/г. Таким образом, все полученные ранее результаты применимы к рассматриваемой задаче. Если вектор-функция г = r{t) найдена, то определение движения относительно системы

координат Oxyz не представляет труда. Точка С - центр масс

точек О W М - движется равномерно и прямолинейно; ее скорость полностью определяется начальными скоростями точек О и М Если - радиус-вектор центра масс, то

тп-у /W

r,=r----г, Г2=Г+-

+т2 /W, +

Исходя из результатов, полученных в § 22.2, найдем поправку к третьему закону Кеплера. Рассмотрим движение вокруг Солнца двух планет с массами /w, и /2 без учета взаимного

влияния. Согласно формулам (22.11) и (22.16), для первой и второй планет соответственно имеем