M-= F, (21.5Г)

a реактивная сила

P=0, (21.8r)

Д. Пусть одновременно происходит присоединение и отделение частиц при равных скоростях центров масс присоединяющихся и отделяющихся частиц, т. е. Vj = V2 = Vq (при этом щ =U2 =Uq). Обобщенное уравнение Мещерского в этом случае можно представить в следующих формах:

гг dv - dM

М-= F + (vo-v)-; (21.4Д)

at at

dv - dM

d = dM

(Mv) = F + Vo--, (21.7д)

dt dt

a реактивная сила

P= o. (21.8д)

E. Пусть масса присоединившихся частиц за любой промежуток времени равна массе отделившихся частиц. В этом случае /W = , М = const и обобщенное уравнение Мещерского примет одну из следующих форм:

xrdv - dm.

M- = F + {v,-V2)- (21.4е)

..dv - dm.

M- = F(u,-U2)-i. (21.5е)

Реактивные силы при этом определяются выражениями

Ц =щ ; Р, =-й,; РЦ Р, =(щ-щ). (21.8е) dt dt dt

С помощью дифференциальных уравнений движения (21.4)-(21.7) формулируют различные задачи динамики ТПМ, которые

(аналогично задачам динамики точки постоянной массы) условно подразделяют на прямые и обратные.

21.4. Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы

Задача Кейли (о движении опускающейся тяжелой цепи)

Пусть с горизонтальной подставки опускается вниз тяжелая цепь, элементы которой непрерывно присоединяются к движущейся части цепи. Оставшаяся часть цепи находится в состоянии покоя у края подставки. Предполагая, что цепь движется по вертикальной прямой, исследовать процесс падения цепи с подставки, пренебрегая силами сопротивления .

По сути, эта задача относится к динамике механической системы. Но так как свешивающаяся часть цепи представляет собой поступательно движущееся тело переменной массы, в котором отсутствует относительное движение частиц, то, как указывалось выше, при решении задачи можно использовать уравнение Мещерского.

Пусть X - длина, am - масса свешивающейся и движущейся части цепи (рис. 21.1). Эта масса непрерывно увеличивается за счет присоединения элементов dm части цепи, лежащей на подставке. При этом скорость присоединяющихся элементов возрастает в момент присоединения от нуля до скорости движущейся части. Таким образом, при решении данной задачи можно воспользоваться уравнением (21.76), которое в проекции на вертикальную ось Ох имеет вид

Рис. 21.1

* Эта задача была решена английским математиком А. Кейли в 1857 г.

{mv)mg. (21.11)

Обозначим через у вес единицы длины цепи. Тогда т = ух/g, v = x и уравнение (21.11) будет иметь вид

(yxx/g) = yx,Hnii (xx) = gx. (21.12)

at at

Так как - = -- = i-,то уравнение (21.12) можно пред-dt dx dt dx

ставить следующим образом:

x(xx) = gx. (21.13)

Умножив уравнение (21.13) на jc, запишем полученное уравнение в виде

dixxf =2gxdx, (21.14)

После интегрирования имеем

{xxy=~gx+C. (21.15)

В качестве начальных условий выберем следующие:

при Го =0 jc = 0, x = 0. (21.16)

Из формул (21.15) и (21.16) находим С = 0. Сократив (21.15) на х, получим

{xf=gx, (21.17)

Продифференцировав (21.17) по t и сократив на 2i, найдем

x = \g. (21.18)

Интегрируя уравнение (21.18) с начальными условиями (21.16), окончательно получаем

= \&- (2119)

Решение (21.19) не является единственным: начальным условиям (21.16) и дифференциальному уравнению (21.12) можно удовлетворить, полагая jc = О. Если считать, что в момент / = О