Учитывая, что - = lim , из (21.2) получаем

dt ао At

так как lim

.M-.(v-v,)-(v-v,), (21.3)

AvA/w, AvAm

- = 0 и lim- = 0.

До At До At

Теорему об изменении количества движения системы

do -

= Y Fj с учетом (21.3) запишем в виде

dt tt

M - = F + (V, - v)-L - (V2 - V)- . (21.4)

Ш at at

Так как при А/ -> О А/и, и А/з также будут стремиться к нулю,

то в уравнении (21.4) F является равнодействующей сил, приложенных к точке М . Отметим, что и V2 в формулах (21.3) и (21.4) будет скоростью центра масс отделяющихся частиц в момент времени / (ранее - скорость центра масс отделяющихся частиц в момент времени / + АО-Уравнение (21.4) называется обобщенным уравнением Мещерского. Если относительные скорости присоединяющихся и отсоединяющихся частиц обозначить соответственно

w, = V, - V, 2 = V2 - V ,

то обобщенное уравнение Мещерского примет вид

7 - dm. dm М - = F + w, -L-W2 -(21.5) dt dt dt

Поскольку AM = Aaw, - Amj, то после деления на At и перехода к пределу при At ->0 получаем так называемое уравнение неразрывности

dMd dm dt dt dt

Система уравнений (21.4), (21.6) или (21.5), (21.6) даже при известных i7, и w2 и заданном значении силы F незамкнута (содержит шесть неизвестных величин F, М, /w /W2, где г в общем случае задается тремя обобщенными координатами) и должна

быть дополнена еще двумя уравнениями вида г, г, М, /Wp ) = О, например зависимостями = (/) и

2 = njj {t). В ракетодинамике эту систему дополняют условиями

экстремума функционала, оптимизирующего расход топлива,

время полета и т. п.

Представляет также интерес следующая форма обобщенного

уравнения Мещерского, которую легко получить из (21.4) и

(21.6):

d - . dm dm

- (Mv) = F + Vi--V2-. (21.7)

at at at

Обозначив

- dm. - dmj

2-2, (21.8)

запишем обобщенное уравнение Мещерского (21.5) в следующей форме:

M = F + P,+P2, (21.9)

M- = F + P. (21.10)

Сила Р называется реактивной и представляет собой геометрическую сумму реактивных сил, обусловленных присоединением Р, и отделением Р2 частиц.

Заметим, что вывод обобщенного уравнения Мещерского применим не только к ТПМ, но и к поступательно движущемуся телу переменной массы.

21.3. Частные случаи уравнения Мещерского

А. Пусть имеет место лишь процесс отделения масс. Тогда

dt dt

(21.8) принимают вид

т, =0, = 0, = - и уравнения (21.4), (21.5), (21.7), at at at

= F + (v,-v); (21.4a)

M = Fu/-; (21.5a)

dt dt

£.{Mv) = F v,; (21.7a)

dt dt

0, PP,=U2 - . (21.8a)

Б. Пусть происходит лишь присоединение частиц. Тогда

dM dm.

=0, -= -- и обобщенное уравнение Мещерского можно

dt dt

представить в следующих формах:

M = F + (v,-v), (21.46)

at at

dv - dM M-= F + i7,-, (21.56)

dt dt

(Mv) = F + v,. (21.76)

dt dt

Реактивные силы при этом будут

ДО; РЦ=щ. (21.86)

В. Пусть абсолютные скорости частиц в момент присоединения и отделения равны нулю, т. е. Vj = = О, либо, если происходит только присоединение или только отделение частиц, то соответственно v, = О или V2 = О. В этом случае обобщенное уравнение Мещерского принимает вид

{Mv) = F, (21.7b)

а реактивная сила

P=-v. (21.8b)

Г. Пусть относительные скорости частиц в моменты присоединения и отделения равны нулю, т. е. щ =U2=0, либо, если происходит только присоединение или только отделение, то соответственно W, = О или 2 = О. В этом случае обобщенное уравнение Мещерского имеет вид