Глава 21

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

21.1. Основные понятия и допущения

В некоторых задачах механики предпочтительнее рассматривать не движение системы материальных точек, а движение некоторого объекта, ограниченного замкнутой поверхностью, через которую движется поток материальных частиц. К такому типу относятся задачи, связанные с движением жидкостей, расчетом двигательных установок различных аппаратов (в частности, ракетных двигателей) а также задачи, связанные с движением ракет, при котором двигатель выбрасывает поток газа. Нас, естественно, интересует движение корпуса ракеты, а не центра масс системы ракета-сгоревший газ . Ракета является ярким примером движущегося тела переменной массы.

Примеров движущихся тел, масса которых заметно изменяется в процессе движения, множество как в различных областях производства (вращающееся веретено, на которое навивается нить; рулон газетной бумаги, разматывающийся на валу печатной машины и т. п.), так и в природе (изменение массы ядра кометы, возрастание массы Земли вследствие падения на ее поверхность метеоритов, таяние плавающей льдины и др.).

Следует отметить, что в теоретической механике переменность массы понимается не в смысле ее возникновения или исчезновения, а в смысле присоединения или отделения либо совместного присоединения и отделения частиц. Предметом дальнейшего рассмотрения будет система частиц с постоянными массами, состав которой изменяется: некоторое количество час-

тиц покидает рассматриваемую систему, новые частицы к ней присоединяются.

Хотя изменение массы мы наблюдаем лишь в случае тел конечных размеров, тем не менее, в динамике тел с переменной массой (переменным составом), введение понятия материальной точки переменной массы (ТПМ) упрощает и облегчает изложение материала. ТПМ можно определить как множество частиц (с постоянной массой), которые в момент времени / находятся внутри области, ограниченной некоторой контрольной поверхностью, причем предполагается, что эта область движется поступательно (вместе с некоторой своей геометрической точкой). Переходом к пределу при стремлении к нулю объема области, ограниченной контрольной поверхностью, придем к понятию, аналогичному понятию материальной точки постоянной массы. Таким образом, ТПМ - это геометрическая точка с некоторой конечной массой, изменяющейся в процессе движения.

Основное уравнение движения ТПМ было получено И. В. Мещерским в 1897 г. в его магистерской диссертации. В 1898 г. результаты диссертации были им обобщены на случай одновременного присоединения и отделения частиц. Обобщенное уравнение Мещерского является основным в разделе Динамика тел переменной массы , составляющем теоретическую базу раке-тодинамики.

Принципиальным допущением, позволяющим получить дифференциальное уравнение движения ТПМ, является гипотеза близкодействия (контактного взаимодействия), согласно которой частицы изменяют количество движения ТПМ только в момент их непосредственного контакта. Как только отделяющаяся частица получает относительную скорость по отношению к ТПМ, ее воздействие на точку прекращается. Присоединяющаяся частица до момента контакта с ТПМ не взаимодействует. Ввиду того, что скорости присоединяющихся или отделяющихся частиц в момент контакта, вообще говоря, отличаются от скорости ТПМ, она будет испытывать удары со стороны этих частиц. Для случая непрерывного изменения массы точки воздействие таких ударов на нее аналогично действию некоторых дополнительных сил, называемых реактивными.

21.2. Обобщенное уравнение Мещерского, реактивные силы

Ограничимся рассмотрением тех случаев, для которых процесс изменения массы происходит непрерывно. При скачкообразном изменении массы соответствующие задачи решаются путем непосредственного применения общих теорем динамики тел постоянной массы, а также методами теории удара

Для вывода уравнения движения ТПМ воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы. Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую из частиц постоянной массы, которые в момент времени t составляют материальную точку М (обозначим массу точки М, скорость V )и за время At присоединятся к материальной точке М {обозначим их массы Li, скорости в момент времени t -

v/\ v)[) соответственно). Пусть цр ..., ц -массы тех частиц, которые за время Д/ отделятся от точки М, а v/\..., vj - их абсолютные скорости в момент времени / + Д/. Введем также обозначения

v,=!-; ь--,-, (21.1)

Дт, Д/з

где Ат=,! Ат2=[К

к = \ к=\

Запишем количество движения этой механической системы в моменты времени / и / + Д/. С учетом (21.1) будем иметь

ё(0 = Л/у + Дт,у

Q(t + At) = (М + Дт, - Ат2)(v + Ду) + ДтзУз.

Тогда

Q(t) = Q(tAt)-Q{t) = = MAv + Дт,(v - V,) - Am2(v - V2) + (21 -2)

+ (Дт, -Am2)Av.