Так как tg Р = /w , то

при tga>/(l +Л;

tgP = 0 при tga<+ Зависимость р(а) приведена на рис. 20.28 (= 0,5; / = 0,5 ).

90 а

Рис. 20.28

20.12. Удар двух шаров. Модель Герца

Покажем, как при решении задачи об ударе двух шаров можно использовать зависимость силы упругого сжатия шаров от величины местного упругого смятия, полученную Герцем при решении задачи о статическом сжатии шаров. Предположим, что такая же зависимость существует и для ударной силы.

При ударе шары, массы которых /w, и , движутся поступательно. Уравнения движения шаров будут иметь вид (рис. 20.29)

JCi = -Р ; т2Х2 = Р. (20.92)

Рис. 20.29

Расстояние между центрами масс шаров 1 = Х2 - jc, . До удара

это расстояние было Iq=R+ Rj.

В процессе удара / = /q - а = Л, + i?2 ~ ? откуда

а = /о-1 = Iq+x -Х2.

Здесь а - местное смятие шаров, или относительное смещение центров масс шров при их деформировании в процессе удара. Из уравнений (20.92) получаем

x. -х =-Р

1 1

- + -

рЩ+Щ т/П2

(20.93)

При упругом деформировании шаров Герцем была решена задача об их сжатии и получена зависимость силы в контакте тел от местного смятия:

где Кп =

R,R2

(20.94)

Ll Ll2.M2 - КОЭф-

3 \ л, + i?2

фициенты Пуассона и модули упругости шаров соответственно.

Зависимость (20.94) получена в предположении, что в зоне контакта шары деформируются как упругие полупространства. Радиус площадки контакта много меньше Л, и i?2 ? поэтому это допущение приемлемо, а решение дает хорошее согласование с экспериментом.

Экспериментально показано, что зависимость (20.94) можно также использовать при ударе при условии, что время пробега поперечной волны по радиусу площадки контакта много меньше времени нарастания силы. Из (20.93) получаем

та = -К (.а

(20.95)

(20.96)

где m =

Начальные условия задачи имеют вид

при / = 0 а = 0, d = Vo,

где d = л:, - 2 = V, - V2.

Запишем уравнение (20.95) в виде

dd 3/2

m-- = -KQa da

и проинтегрируем с учетом начальных условий (20.96). После интегрирования получим

----АлСХ,

2 5

Отсюда можно определить а, при d = 0, т. е. в момент наибольшего сближения шаров:

2 5/2

- -JoOtmax. ИЛИ а,з =

5 OTVn

При этом

5wVo

(20.97)

Определим время нарастания контактной силы: da

dt \ 5 т \ 5 mvl

(20.98)

Vmax у

После интегрирования имеем