а из (20.70) получаем полную нормальную составляющую импульса ударной реакции

S =mvcosa(\ + K). (20.81)

Подставив S 2 (20.79), находим

S,2 = -fKmvcosa<0, (20.82)

Касательная составляющая импульса ударной реакции = .S + .,2. С учетом (20.76) и (20.82) получаем

S, = -mv cos a(l + ). /. (20.83)

Согласно (20.75) и (20.78), нормальная составляющая скорости точки после удара

u = = -Kv , (20.84)

т т

т. е. для материальной точки при наличии трения для вычисления коэффициента восстановления можно использовать кинематическую модель Ньютона. Из (20.84) получаем

и =A:vcosa. (20.85)

Согласно (20.78), касательная составляющая скорости после удара

=v; + = v[sina-/cosa(l + )]. (20.86) т

Теперь определим условия, при которых возможно скольжение точки в течение всего времени удара, т. е. когда

V* >0, >0. Из (20.77) и (20.86) имеем v(sina-/cosa)>0 и V [sin а - / cos а(1 + К)] > О, откуда получаем tga > / и tga> f(\ + К), Таким образом, общее условие скольжения при ударе имеет вид

tga>/(l + .

Модули скорости точки после удара и полного импульса ударной силы соответственно равны

u = ul +ul =v/[sina- /(1 +A:)cosa] +(A:cosa) ; S = VT = mv(\ + )со8а7ьГ/. Если в этих формулах положить / = О, то

и = vVsin а + АГ cos а ; S-mv(y +K)cosa,

т. е. получаем решение для случая удара материальной точки о неподвижную поверхность без учета трения (см. § 20.4).

2. Скольжение материальной точки заканчивается в фазе деформирования. В этом случае фаза деформирования разделяется на два этапа: 0-х - скольжение точки, x-Xj - движение точки без скольжения (движение по нормали). В момент времени / = т касательная составляющая скорости точки станет равной нулю (т. е. = О) и скольжение точки прекратится.

Первый этап фазы деформирования начинается при t = Q (v ,v) и заканчивается при / = х (v) v =0). Необходимые уравнения имеют вид

m(v;-v ) = 5<{b m(v;-v,) = S(), где S, S - нормальная и касательная составляющие

импульса ударной реакции за время от О до х, S* = -/ 5 !. Откуда

S} = -mv = -wvsin а < О; (,) Sl\ OTvsina

5i!> rsina

-cosa

. + v =v

(20.87)

Второй этап фазы деформирования начинается при / = х (, ) и заканчивается при / = Xj (v* = О, v* = О). Уравнения удара будут следующими:

w(v:-v;) = 5if m(v:-v[) = S[\

где SP, S!f - нормальная и касательная составляющие импульса ударной реакции на втором этапе фазы деформирования. Из уравнений след]ет:

sina

cosa -

Составляющие импульса ударной реакции в фазе деформирования

Для фазы восстановления, которая начинается при / = Xi и заканчивается при / = х, составляющие скорости будут соответственно V* = О, V* = О и = О, . Уравнения удара имеют вид

fn{u -vl) = S 2; ГП{Щ -v\) = S,2 и S 2 =KSn\

Отсюда получаем

Тогда

и = - = vcosa = -Kv ; т

S = 5 , + 2 = (1 + K)mv cos а ; = iS + .S,2 = -wvsin a . Чтобы скольжение точки при ударе закончилось в фазе деформирования, необходимо выполнение кинематического условия

v; <0. (20.88)

Из (20.87) и (20.88) получаем

tga</. (20.89)

При отсутствии скольжения в конце фазы деформирования и в конце удара должны быть соблюдены динамические условия

отсутствия скольжения: liil < / S , < . Легко проверить, что эти условия подтверждают требование (20.89).

3. Скольжение материальной точки заканчивается в фазе восстановления. Получим сначала решение для фазы деформирования (/ = 0...х,). Скольжение в этой фазе присутствует, т.е.

> О и V* > О, а нормальные составляющие скорости точки будут v, и V* = О. Необходимые уравнения имеют вид

Отсюда

S,j = -mv,j - /wvcosa; 5 = -fmvcosa;