Отсюда = = vsina. Но и w нельзя определить из одного уравнения, необходимо знать коэффициент восстановления К. Для его определения представим удар точки о поверхность в двух фазах. В начале фазы деформирования скорость точки равна v , в конце - щ . Импульс ударной реакции в этой фазе

S, = \Ndt,

где Х, - время фазы деформирования и нормальная ударная

реакция поверхности соответственно.

В конце фазы деформирования нормальная составляющая скорости точки равна нулю и щ = й (где - касательная составляющая скорости точки).

Фаза восстановления начинается при скорости точки щ и заканчивается, когда точка покидает поверхность со скоростью й.

Импульс ударной реакции в этой фазе .S2 = JNdt. Коэффициент

восстановления для точки К = 82/5 . Согласно теореме об изменении количества движения точки в проекции на нормаль (см. рис. 20.6) для первой и второй фаз удара соответственно, имеем

m(u, -v ) = m(-vJ = S,; (20.18)

т(и,-щ ) = ти =52. (20.19)

Заметим, что +82=8 . Разделив(20.19) на(20.18), получим

К = = -. (20.20)

Соотношение K = -u /v подчиняется модели Ньютона. В учебной литературе его используют для определения коэффициента восстановления. При отсутствии ударного трения (20.5) и (20.20) во многих случаях равнозначны. При наличии ударного трения для тел, совершающих при ударе произвольное движение, модель Ньютона в ряде случаев противоречит теореме о кинетической энергии, поэтому уравнение (20.5) более приемлемо.

Формула (20.20) позволяет определить с помощью простого эксперимента значение коэффициента восстановления К,

При прямом ударе а = О, = -v, w = w и

K = u/v. В то же время v = /2gA u = yj2gh

(рис. 20.7). Подставив выражения для v и w в формулу для К, получим

K=4hjh;.

Измерив высоты падения А, и отскока Л2 мате-

Aw риальной точки, можно рассчитать значение

коэффициента восстановления.

При косом ударе аО (см. рис. 20.6)

V. tgP*

Измерив экспериментально углы падения а и отражения р, можно вычислить значение коэффициента восстановления. При известном коэффициенте восстановления К можно решить задачу об определении й и S с помощью дополнительной зависимости w = -Av = ATvcosa, так как v = -vcosa.

Рис. 20.7

20.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы при ударе. Теорема Карно

Теорема Кельвина

Получим выражение для работы ударных сил. Умножив скалярно члены уравнения (20.2) на w и v , получим

ти - miiv = Su, muv - mv = Sv .

Сложив эти уравнения и разделив на 2, находим

2 2 2

Из теоремы (20.21) следует, что изменение кинетической энергии точки при ударе равно работе А ударной силы F :

где S, =5; +Sl\

Суммируя по точкам левую и правую части уравнения, получаем уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии системы при ударе:

r-r .i - > >->. (20.22)

ти] Шиу] где Т = 2-Tq =2-И-л--кинетические энергии системы

= 1 2 = , 2

после и до удара соответственно.

Согласно (20.22), сумма работ ударных сил, приложенных к материальным точкам механической системы, равна

А:=1 к=\ 2 t=l 2

Сформулируем теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии механической системы при ударе равно сумме работ внешних и внутренних ударных сил, выраженной через суммы скалярных произведений внешних и внутренних ударных импульсов на полусуммы скоростей точек после и до удара.

Сформулируем теорему Кельвина: работа ударной силы, приложенной к материальной точке, за время удара равна скалярному произведению ударного импульса на полусумму скоростей точки после и до удара.

Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим механическую систему, состоящую из точек. Запишем теорему Кельвина для к-й точки:

2 2 2