тел, близких по форме к сферическим, а также для компактного тела, ударяющегося о полупространство.

Формулы классической механики справедливы и при соударении удлиненных тел, если время т удара в несколько (3-5) раз превышает время Т двойного пробега упругих волн по соударяющимся телам, т. е. т > (з... 5)Т. Это означает, что время удара должно быть велико, чтобы из места соударения не была безвозвратно удалена упругая энергия волнами возмущения.

Например, для стержней Г = 2 с, с = у[Е/р , где I, Е, р -

длина, модуль упругости и плотность стержня. Для стального стержня скорость распространения упругих волн (скорость звука) с 5000 м/с . Пусть время удара т 0,001 с, тогда длина стержней, при которых можно использовать данную теорию, должна

быть / <

= 0,5...0,83м.

6...10

На рис. 20.3 представлены экспериментальные зависимости коэффициента восстановления при соударении сфер из одинакового материала (бронзы или свинца), но различной массы и отношения масс, от начальной относительной скорости удара v. Значение коэффициента восстановления К, как видно на рисунке, зависит от V, поэтому выбирают некоторое среднее значение К в определенном диапазоне изменения v. Это среднее значение принимают постоянным (в определенном диапазоне изменения v) и используют при решении практических задач.

1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 7,2 8,4 v,m/c Рис. 20.3

20.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс системы при ударе

Для материальной точки теорема об изменении количества движения при ударе имеет вид (20.2), т. е. изменение количества движения точки за время удара равно импульсу ударной силы, действующей на точку.

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем *

ти - mv = ; ти - mv = ; ти - mv = .

Для ударных внутренних сил механической системы имеем

Xf/O; tM (f/>) = 0.

Проинтегрировав по времени удара, получаем

fSt=0; to(Sl) = 0. (20.6)

=1 к=]

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Применим теорему об изменении количества движения для к-й точки системы:

кЩ-Щк=1 +Sl\ k = l,..,N. (20.7)

Здесь ui,Vf - скорости к-й точки после и до удара; 5/ SJ -

импульсы внешней и внутренней ударных сил. Суммируя уравнения (20.7) по точкам системы, получаем

N N N N

-Ym.v, =Ysl lslK

к=] к=\ Л=1 к=\

N

Обозначив Q =1ск Qo =кк учетом свойства

к=\ л=1

(20.6) из (20.7) находим

ё-ёо=1Г. (20.8)

где Q,Qo - количества движения системы после и до удара соответственно.

Таким образом, изменение количества движения механической системы за время удара равно векторной сумме импульсов всех внешних ударных сил, действующих на точки системы,

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем

а -а. =15Г; Q.-Qoy=ts:- Q.-Qo. =Ъ):- (20.9)

=1 ы\ ы\

Запишем =MW( , Qq=Mv где Af,i7(.,v - соответственно масса системы и скорости ее центра масс после и до удара. Согласно (20.8), выражение для теоремы о движении центра масс системы имеет вид

Мщ -Mv =1]? . (20.10)

В проекциях на оси координат получаем

(20.11)

Получим законы сохранения, вытекающие из этих теорем. 1. Если к = О, то из (20.8), (20.10) следует

Q = Qo, u,=v,. (20.12)

Таким образом, если векторная сумма гшпульсов внешних ударных сил равна нулю, то вектор количества движения и скорость центра масс системы остаются постоянными.

В проекциях на оси координат имеем

а=а.; Qy=Qoy\ Q.=Qo.;

2. Если Y,S] = о, то из (20.9), (20.11) получаем

Qx=Qx Cx=Cjc-43* 659