Здесь V - скорость точки в процессе удара; v, w - скорости точки до и после удара соответственно; S - импульс ударной силы F за время х . Изменение скорости точки Av = w - v за время удара есть величина конечная, что следует из эксперимента.

Из (20.2) следует, что импульс ударной силы также величина конечная.

Запишем импульс ударной силы с помощью теоремы о среднем значении функции: *

S = ]Fdt = F,x, (20.3)

где - среднее значение ударной силы за время удара. Из (20.2) и (20.3) получаем

Р т(й - у)

Т. е. при конечном значении произведения в числителе и очень малом знаменателе (х 10 -10 с) F очень велико (порядка

1/х). В связи с этим при х-->0 hFp -->оо импульс S есть величина конечная.

Согласно принятому допущению, в уравнениях теории удара время отсутствует, поэтому вместо ударных сил будем оперировать их импульсами.

Уравнение (20.2) выражает теорему об изменении количества движения точки при ударе. Покажем, что перемещение Аг точки за время удара бесконечно мало. Интегрируя уравнение

mV =т- = S -hmv dt

от О до X, получаем

г-г.=Аг =

X. (20.4)

Здесь iS.p = jsdt/x - средний ударный импульс силы; S = JFdt

при 0</<х. При конечных v, 5.р и х->0 перемещение точки

Лг за время удара пренебрежимо мало и его при ударе не учитывают.

Пусть на точку действуют ударная сила F{t) и конечная сила Р . В качестве конечных можно рассматривать силы тяжести, упругости, а также силы, зависящие, например, от скорости точки. Суммарный импульс этих сил равен

- - -

о о

Вторым слагаемым здесь можно пренебречь, так как оно является малым того же порядка, что и х, а 5 - величина конечная, поэтому при ударе действие конечных сил не учитывается.

Используя модель Ньютона, рассмотрим удар двух тел, при котором в точке контакта А возникают ударные силы. Трение не будем учитывать, поэтому ударные силы и их импульсы .У и направлены по общей нормали к соударяющимся телам в точке А (рис. 20.1).

Рис. 20.1

Ударная сила, действующая на тело, изменяется во времени, как показано на рис. 20.2.

В контакте тел образуются местные упругопластические деформации, зависящие от физических свойств тел. Процесс удара

разбивается на две фазы. В первой фазе - фазе деформирования происходит сближение тел в точке А по общей нормали до тех пор, пока нормальная составляющая относительной скорости точки контакта тел не обратится в нуль в момент времени х,. Фаза деформирования характеризуется импульсом ударной силы iS,. Далее начинается

вторая фаза - фаза восстановления, при которой тела в месте контакта восстанавливают свою форму вследствие упругих сил. Нормальная составляющая относительной скорости точки контакта меняет знак и возрастает, но из-за пластических деформаций не достигает своего первоначального значения. Импульс ударной силы в этой фазе равен S2.

Введем коэффициент восстановления К, который характеризует свойства материалов соударяющихся тел:

Рис. 20.2

где iS SI, 82,82 - импульсы ударных сил в фазах деформирования и восстановления для первого и второго тел соответственно.

Коэффициент восстановления определяют экспериментально. Так как после удара в общем случае полного восстановления формы тел не происходит, то О < < 1. При К = 1 удар называют абсолютно упругим и при = О - абсолютно неупругим, а при о < а: < 1 -упругим. в случае, когда К = 0, нормальная составляющая относительной скорости точки соприкосновения тел после удара равна нулю и фаза восстановления отсутствует. Оба тела либо движутся совместно, либо одно тело скользит по другому после максимального сближения в точке контакта.

Теорию удара при изложенных допущениях можно применять с достаточным приближением на практике для сравнительно небольших относительных скоростей точек контакта при ударе (до десятков метров в секунду); для компактных соударяющихся