a,=a. = = -; (1.54)

P P

a, = a Ь s 0.

Модуль проекции ускорения на касательную ось характеризует изменение скорости по величине, а знак показывает соответствие направления касательной составляющей ускорения направлению единичного вектора т, т. е. выбранному положительному направлению отсчета s.

Проекция ускорения на нормаль всегда неотрицательна* и характеризует изменение скорости только по направлению. Если точка на криволинейном участке траектории движется с постоянной по модулю скоростью ( V = const), то она все же будет иметь ускорение, направленное по нормали и определяющее изменение направления вектора v , так что в этом случае alv и а=а .

Очевидно, что =лт, а =а п, аХа, и модуль ускорения

aal+al . (1.55)

Характер движения точки по траектории (ускоренный или замедленный) можно определить, исходя из знака скалярного произведения ускорения и скорости: в случае av=av >0 - движение точки ускоренное ( v > О ), при этом и v направлены в одну сторону; в случае av =av < О - движение точки замедленное (v<0), при этом a!j и V направлены в противоположные стороны. При дДО = 0 движение точки равномерное ( V = const), в этом случае при движении по криволинейной траектории а=а и alv.

Заметим, что проекции ускорения на касательную (a=s = = v) и на ось, совпадающую по направлению с вектором V (а = V ), равны по модулю, т. е. laJ = а .

* Положительное направление нормали всегда принимается в сторону вогнутости траектории точки в соприкасающейся плоскости.

Текущее значение пути L(t), пройденного точкой по траектории, и закон движения точки по траектории s(t) также могут совпадать (с точностью до знака), но только в случае, если начало отсчета пути соответствует такому моменту времени , при

котором s(tQ) = О, и за рассматриваемый промежуток времени t-t проекция скорости на касательную не меняла своего знака. Тогда можно записать

L(t) = \sit)\= lv(t)dt.

Пример 1,3, В задаче, сформулированной в примере 1.1, дополнительно определить закон движения точки М по ее траектории.

Решение. Согласно приведенному в примере 1.1 решению, движение точки М происходит по траектории, являющейся частью параболы, расположенной над осью Ох (см. рис. 1.4). Примем начало отсчета криволинейной координаты s в точке О и будем считать положительным направление, соответствующее направлению перемещения точки вверх по параболе. В рассматриваемом случае в течение всего времени движения перемещение точки происходит по траектории в положительном направлении (проекции скорости на оси координат = 2bt,

= с не меняют своего знака). Следовательно, закон движения точки по траектории имеет вид s(t) = v(t)dt, где v(r) = vl + Vy = {Ibt) . После вы-

числения интеграла получаем

In [ibt + O-btf+cjc .

Значения констант Ъис даны в примере 1.1.

Пример 1,4, Движение точки М происходит в плоскости Оху по окружности радиусом /? = 1м согласно закону 5(0 = csin(bO, где с = к/2м, Ь = 1с \ г - время в секундах. Начало отсчета (точка Mq ) и положительное направление отсчета координаты s(MqM) заданы на рис. 1.12. Для момента времени fi = 7i/6 с найти скорость и ускорение точки М, показать ш на чертеже. ,

Решение, Положение точки на окружности удобно определять ерез значения центрального угла а , опирающегося на дугу окружности kjMqM с длиной, равной s:

а = 5(0 ?. (1.56)

Положительные значения угла в данном случае будем откладьгоать от горизонтального диаметра против направления движения часовой стрелки, а отрицательные по ее ходу. При этом диапазон изменения дуговой координаты -ейsue, поэтому a=-7i/2. a=7i/2, так что траекторией является лишь правая половина окружности, вьзделенная на рис. 1.12 жирной линией.

Рис. 1.12

Проекция скорости точки М на касательную v=s = cb cos(bt). Проекции ускорения точки М на касательную ось и нормаль соответственно равны

a=s = -cbsm(bt), а = - = -

В момент времени г = = 7i/6 с а = 7с/4, = пу/з/4 1,36 м/с, = -7с/4 -0,785 м/с , а = 3n/l6 1,85 м/с . Положение точки на траектории, касательная и нормальная оси, а также скорость и ускорение точки М показаны на рис. 1.12. Так как v. > О, то вектор v направлен по касательной к траектории в

положительном направлении касательной оси, а касательная составляющая ускорения а поскольку а<0, - в противоположном направлении. Нормальная составляющая ускорения а направлена по нормали от точки М к точке О,. Полное ускорение точки Л/ а = 5 совпадает с диагональю прямоугольника, построенного на векторах и а как на сторонах (см. рис. 1.12).

Модуль ускорения а =