у2 = /2ф2+/Ч+2/ф\/; Т =-i-(2m/V V +2т/2ф\/) и, следовательно, в соответствии с (19.91)

Диссипативная функция Рэлея

ф = 1/1у2 +i/iv =(2/i/V +/V +2/1/ф\/).

Следовательно, в соответствии с (19.91)

7 =2Ы b22=he; b,2=hl\

Потенциальная энергия системы складывается из энергии подъема груза верхнего маятника на высоту Л, =/(1-со8ф) и энергии подъема груза нижнего

маятника на высоту Л2 =/(1-со8ф) + /(1-со8\/). Принимая с учетом малости колебаний со8ф = 1-ф/2, со8\/= 1-\ 2, получаем

П = ~-(2т/ф + mgb),

откуда

c,i=2m/; C22=mgl; 2=0.

При 5ф0 и 5\/ = 0 элементарная работа 5Л(F) = F(0/co8ф6ф и, следовательно, Й,(0 = (0/со8ф, при 5\f9t0 и 5ф = 0 5A(F) = 0, а значит, 62(0 = 0. Поскольку в дифференциальных уравнениях малых колебаний учитываются только члены первого порядка малости, то в вьфажении для Qi(0 со8ф = 1. Тогда дифференциальные уравнения малых колебаний будут иметь вид 2/и/ф+ m/vjlr + 2/1/ф++ 2т/ф = F(f)/; /и/ф+m/V/ + Л/ф++ mgl\\f = 0.

Пример 19,10. Два тела с массами тл связанные между собой пружиной, жесткость которой С2, и скрепленные с основанием пружиной жесткостью Cj, могут двигаться в вертикальном направлении (рис. 19.29). На тело массой действует сила, изменяющаяся во времени по гармоническому закону F{t) - Fq sin pt. Составить дифференциальные уравнения малых колебаний.

Решение. Воспользуемся дифференциальными уравнениями поступательного движения. Будем отсчитывать координаты и Х2 от положения статического равновесия каждого тела. В этом случае, как было показано при анализе колебательных систем с одной степенью свободы, силы тяжести и упругие силы, возникающие в пружинах в результате статической деформации, взаимно

компенсируются и могут не учитываться при составлении дифференциальных уравнений. Запишем дифференциальные уравнения поступательного движения в проекции на ось Ох:

mi3c, = -сх + Сз(Х2 -Xi) + Fq sin pt;

т2Х2=-С2{Х2-х),

m,3ci + (с, +C2)Xi-C2X2= Fq sin pt;

W2-2 -21 +2-2

2(2-1)

I 1 I

fc.x

(19.94)

Рис. 19.29

(19.95)

19.8. Свободные колебания линейной консервативной системы с двумя степенями свободы

В соответствии с (19.92), учитывая, что при свободных колебаниях консервативной системы Qi (О = G2 () = О, bj, = b2 -= = О, запишем дифференциальные уравнения в виде

111+ 122+111+2=0;

121+222+1291+2292=0-

Начальные условия для и 2 имеют следующий вид:

при t = 0 ?1=?1о; 9l=9l0; 92=920; 92=920- (19.96)

Напомним, что в силу положительно-определенной квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям

а,1>0; ап22- п>0; а22>0, а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов

Cii>0; с с22-4>0; с22 >0 (19.97)

являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы.

Коэффициенты а2 сг связывающие в уравнениях (19.95) обобщенные координаты и называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент = О, ее называют системой с упругой связью, а если С12 = О - системой с инерционной связью.

Системы с упругой связью представлены в примерах 19.8 и 19.10, а система с инерционной связью - в примере 19.9.

Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате q, называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме q, Число парциальных систем равно числу степеней свободы. Дифференциальные уравнения движения парциальных систем получают из дифференциальных уравнений исходной системы, положив условно все коэффициенты связи равными нулю. Для системы с двумя степенями свободы, согласно (19.95), имеем

222+222=0-

Парциальными называют собственные частоты щ, 2 парциальных систем:

1=11/11; 2 =22/22-

Парциальные системы, соответствующие рассмотренным в примерах 19.8-19.10 колебательным системам с двумя степенями свободы (см. рис. 19.27-19.29), представлены на рис. 19.30, а-в соответственно.

В силу того, что уравнения (19.95) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решения в виде

1 = Aj sm((ot + а); 2 = 2 sin(a)r + а), (19.98) где А,А2,(0, а - пока не определенные величины.