Тогда

Здесь коэффициент динамичности Х при инерционном возбуждении

, р

Для исследования амплитудно-частотной характеристики, заменив коэффициент расстройки z обратной ему величиной t, = (o/p, получим

2 7(1-2)2

По структуре А, полностью совпадает с X(z) при силовом или кинематическом возбуждении. Следовательно,

при z = 0 £,00, = 0;

при Z -> 00 = О, A,j, = 1;

приг = 1 = 1, ?1, =1/ = Д.

При d<y[2 имеет место максимальное значение Х = -=J , которому соответствует i = \-djl или

z = , , т. е. в отличие от силового или кинематического

возбуждения максимальное значение коэффициента динамичности смещено вправо от резонансной частоты.

При d>y[2 максимальное значение А, = 1, z -> оо.

Зависимость A, (z) при различных значениях коэффициента d представлена на рис. 19.17. Как и в случае силового или кинематического возбуждения, при определении амплитуды вынужденных колебаний в реальных системах с малым вязким сопротивлением последнее можно не учитывать, если известно, что частота р возмущающей силы далека от собственной частоты со.

Фазочастотная характеристика не зависит от способа возбуждения (см. рис. 19.16).

Рис. 19.17

Переходные процессы

Важной характеристикой колебательной системы является временная характеристика - изменение колебаний во времени. Анализ решения (19.54) показал, что по истечении определенного промежутка времени с начала колебаний свободное движение затухает. Однако оно возникает каждый раз, когда изменяется возмущающая сила: возникает, меняется ее амплитуда, или частота, и наконец, прекращает действовать. Возникнув, свободное движение осуществляет плавный переходный процесс от одного установившегося режима вынужденных колебаний к другому.

Для того чтобы получить переходный процесс, необходимо зафиксировать значения отклонения и скорости в момент изменения возмущающей силы, а затем, считая эти значения начальными условиями, использовать полное решение (19.54), определив в нем произвольные постоянные.

Пример 19.6. К телу массой m = 1 кг (см. рис. 19.2, а), подвешенному на пружине АВ, жесткость которой с = 144 Н/м, приложена сила Fit) = Fq sin pt, где Fq = 2Н; p = 8 рад/с. При движении тело преодолевает силу вязкого сопротивления = -hv , где Л = 1Н с/м. В начальный момент тело смещено от

положения равновесия на 4 см и отпущено без начальной скорости. Через 200 с после начала движения амплитуда приложенной силы увеличилась в полтора раза, а еще через 200 с действие силы прекратилось. Исследовать движение тела.

Решение. Рассмотрим три временных интервала движения: 0...200с, 200...400сиболее400с.

На первом интервале (промежуток времени от О до 200 с) дифференщ1аль-ное уравнение движения в каноническом виде (19.5) при Р = О имеет вид

х+2ех+оух/osinpt,

где е = h/2m = 0,5 рад; со = yjc/m = 12 рад; /о = Fo/m = 2 м/с . Поскольку е < со, запишем решение в виде

x = е~ (С со8(0,г + С21 sin (о,г) + Dsin(pr - у), где Сц и С21 - произвольные постоянные на первом интервале движения;

co,=Vco-e =11,99рад; В= . =0,025 м; y = aictg , =

V(co-p)44eV

= 0,1 рад.

Подставив в общее решение начальные условия:

при / = 0 д: = 0,04м; д: = 0,

определим произвольные постоянные С = 0,042 м; С21 =-Ч),015м . Следовательно,

x = е-(0,042cosl l,99f -0,015sin 11,990 + 0,025sin(8f -0,1) м .

Процесс перехода от начального смещения к установившимся вынужденным колебаниям представлен на рис. 19.18, а. Видно, что продолжительность переходного процесса составляет примерно 9 с. Поскольку она существенно меньше 200 с, можно при определении параметров движения в конце первого интервала учитывать только частное решение, определяющее установившиеся вынужденные колебания:

/ = 200с;

д:(200) = Dsinipt - у) = -0,018 м;

jc(200) = Dpcosipt - у) = -0,134 м/с.

Эти значения будут начальными условиями на втором интервале движения.

На втором интервале (промежуток времени от 200 до 400 с) решение с учетом линейной зависимости D(Fq) будет иметь вид

x = е~ (С,2 cos со,Г2 + С22 sin (0t2) + 1,5D sin(/7f 2 - у),