при z->oo к->0; при 2 = 1 X = \/d =Д.

Таким образом, добротность Д представляет собой значение коэффициента динамичности при резонансе; она показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе отличается от статического смещения. В отличие от случая отсутствия вязкого сопротивления, амплитуда при резонансе имеет конечное значение.

Если частота р изменения возмущающей силы мала по сравнению с частотой со свободных колебаний, т. е. р со, то амплитуда вынужденных колебаний близка к статическому смещению, а коэффициент динамичности близок к единице. Если же р (о, то колебательная система ведет себя как фильтр, т. е. практически не воспринимает возмущения с частотами, существенно превышающими собственную частоту.

Выражение для коэффициента динамичности (19.55) показывает, что при малых значениях d вязкое сопротивление становится существенным лишь в достаточно узкой зоне в окрестности

резонанса, когда величина dz становится соизмеримой с

(l-z). Это же демонстрирует график X(z) при rf = 0,

приведенный на рис. 19.15. Поэтому при определении амплитуды вынужденных колебаний в реальных системах с малым вязким сопротивлением последнее можно не учитывать, если известно, что частота р возмущающей силы далека от собственной частоты ©.

Для определения экстремальных значений коэффициента динамичности достаточно исследовать подкоренное выражение в уравнении (19.55),

Рис. 19.15

поскольку его максимум в силу струкгуры уравнения (19.55) будет соответствовать минимуму X, и наоборот.

Вычислим производные по z от подкоренного выражения

y(z) = -4z(l -z) + 2dz = 2z(d - 2 + 2z) , y\z) = 2(d - 2 + 2z) + 8z = 12z - 4(1 - /2). Приравняв к нулю y(z), получим два значения z, соответствующие экстремумам:

Z, =0;z2 =

(второе значение имеет место только при d<yl2, причем при d = л12 оно совпадает с первым).

Если d <yf2 ,то вторая производная yiz) отрицательна при Z, и положительна при Z2, следовательно, z, соответствует максимуму y(z) и локальному минимуму X(z), а Z2 - минимуму y(z) и максимуму X(z). Максимальное значение коэффициента динамичности при этом будет равно

2(Z2) =

dl 2

При d>42 остается только одно экстремальное значение Zj =0; в этом случае имеет место минимум y{z) и максимум Mz).

На рис. 19.15 представлены кривые, определяющие зависимость X{z) при различных значениях коэффициента d . При

d>42 максимальное значение коэффициента динамичности X = 1 соответствует z = О, т. е. амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна или меньше статического смещения. При других значениях d максимум X(z) оказывается всегда

сдвинутым влево от резонансной частоты.

Для исследования фазочастотной характеристики в безразмерном виде разделим числитель и знаменатель аргумента арктангенса (19.51) на со:

го го d Z

у = arctg - . Г , = arctg -

Учтем, что произбодная y(z) по z независимо от значения d

(кроме d = Q) положительна при всех значениях z, т. е. y(z)

представляет собой монотонно возрастающую функцию. Тогда

при z = 0 у = arctg(O) = О;

при z = 1 у = arctg(oo) = 7г/2 ; при z->oo у = arctg(-O) = 7С.

Отметим, что при резонансе фазовое запаздывание у = 7с/2 независимо от значения коэффициента d, характеризующего вязкое сопротивление.

На рис. 19.16 представлены кривые, характеризующие зависимость y(z) при различных значениях d . При d = 0 (отсутствие вязкого сопротивления) y(z) представляет собой разрывную функцию (см. рис. 19.14, в). Отметим, что с ростом d меняется характер фазовой кривой, она трансформируется из кривой с двумя перегибами в кривую с одним перегибом.

Рис. 19.16

Инерционное возбуждение колебаний

В случае инерционного возбуждения колебаний, как и при отсутствии вязкого сопротивления,

/о=7оР-