Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления

При гармоническом возбуждении, согласно (19.25), дифференциальное уравнение движения имеет вид

aq + bq + cq = Qo s\n(pt + р),

q + 2sq + (oq = /о sm(pt + Р). (19.49)

Силовое и кинематическое возбуждения колебаний

Решение (19.49) будем искать в виде суммы (19.42) общего

решения однородного уравнения + 28 + 0)9 = 0 и частного

решения неоднородного..

В § 19.3 было показано, что общее решение однородного уравнения может быть представлено в зависимости от соотношения между 8 и со в одной из трех форм:

=в~(С cosco,/ + C2 sinco,/) при 8<со;

9оо =~чс, +С2О при 8 = 0); (19.50)

Чо.о=е {С,е Се-) при 8>0). Для определения частного решения уравнения (19.49) воспользуемся методом комплексных амплитуд. Известно, что

и = /о cos(p/ + Р) + if, smipt + р), (где / - мнимая единица) и, следовательно,

/oSin(;7/ + P) = Im/oHP Поэтому можно ввести вспомогательное уравнение

у + 2гу-(оу = /оеР\ найти его частное решение у, а затем, воспользовавшись линейностью вспомогательного уравнения, для которого справедлив принцип суперпозиции, получить .н Учм-

Задав j/.H в виде у =Ge\ где G - комплексная амплитуда, получим

откуда

fo fo

(со -p +28/ D*e

Здесь

= (ау-рУ4гр ; у = arctg-

ю - p

(19.51)

Тогда

D= . (19.52)

Отсюда

=lmj;, =Dsm(pt + -y), (19.53)

Общее решение (19.49) будет иметь вид q=e~\C cosco,/ + C2 sinco,0 + sin(/7/ + P-y) при 8<co;

= -(C,+C20 + sin(/7/ + p-y) при 8 = 0); (19.54) q = e{Ce + Ce) + Ds\x\{pt + P- y) при 8 > со, где C и Сз - константы, определяемые из начальных условий (19.29) с использованием полного решения (19.54).

Структура общего решения (19.50) однородного уравнения такова, что при любых отличных от нуля значениях 8 с течением

времени из-за наличия множителя оно стремится к нулю, и в решении (19.54) остается только частное решение. В этом случае говорят об установившихся вынужденных колебаниях.

На основании решения (19.53) можно сформулировать основные свойства установившихся вынужденных колебаний:

1)это незатухающие колебания; они длятся так долго, как долго действует возмущающая сила;

2) эти колебания не зависят от начальных условий;

3) при гармоническом возбуждении они происходят с частотой возмущающей силы;

4) эти колебания отстают по фазе от возмущающей силы на величину у, изменяющуюся, как будет показано ниже, от О до л;.

Амплитуда D установившихся вынужденных колебаний и сдвиг по фазе у зависят в силу (19.51) и (19.52) от соотношения между частотами и со и от коэффициента затухания 8. Проанализируем эти зависимости, называемые амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками.

Для большей общности результатов перейдем к безразмерным параметрам.

Безразмерным коэффициентом затухания d называют отношение

=28/(0.

Если 8 со и, следовательно, Г, то безразмерный коэффициент затухания можно связать с логарифмическим декрементом колебаний:

28 Ti Г 28Г1 Г 5 Г 5

d =--- =--- =-- -.

(О Т 2п пТ п

Добротностью Д называют величину, обратную d : д = 1/ = ш/28.

Очевидно, что при малом затухании добротность, как и безразмерный коэффициент затухания, может бьпъ выражена через логарифмический декремент колебаний: Д = п/Ь.

Разделив числитель и знаменатель амплитуды (19.52) на со, получим

Здесь D =Qo/c,a

Х= , (19.55)

- коэффициент динамичности при наличии вязкого сопротивления.

Исследуем зависимость коэффициента динамичности А, от z и d, представляющую собой амплитудно-частотную характеристику системы в безразмерном виде:

при Z = О Х = 1;