где z-pldi - коэффициент расстройки, или относительная

частота вынужденных колебаний. Величину

называют коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при гармоническом воздействии больше статического смещения.

2. Резонанс. В случае совпадения частоты возмущающей силы с частотой свободных колебаний (собственной частотой) возникает явление резонанса.

При отсутствии сил вязкого сопротивления в случае резонанса амплитуда вынуждеищых колебаний, нарастая во времени, стремится к бесконечности. Это объясняется тем, что, если колебания происходят с собствешюй частотой, то инерционные силы уравновешиваются квазиупругими (ар =с) при любых амплитудах колебаний. Возмущающая сила оказывается при этом неуравновешенной и увеличивает амплитуду колебаний.

Будем искать частное решение уравнения (19.41) при р = (о

в виде

9,. =Grcos(/?r + p).

Определив q = -2Gpsin(pt + Р) - Gtp cos(pt + P) и подставив его вместе с q в (19.41), получим

- 2Gp sm(pt + р) = /о sin(pt + р).

Отсюда

G = -fo/2p

и, следовательно,

9,.н =-cosipt + )=sm(pt + p-). (19.48) 2р 2р 2

Анализируя решение (19.48), можно сделать вывод, что, с одной стороны, вынужденные колебания при резонансе смещены

по фазе от возмущающей силы на л;/2. С другой стороны, можно заметить, что вынужденные колебания при резонансе происходят с нарастающей пропорщ1онально времени амплитудой. Зависимость 9ч (О представлена на рис. 19.13.

Рис. 19.13

Отметим, однако, что в реальной колебательной системе, во-первых, всегда имеется сопротивление, во-вторых, при достижении больших амплитуд колебаний нарушается допущение о их малости и становятся существенными нелинейные восстанавливающие силы. Все это приводит к тому, что амплитуда колебаний при резонансе в реальной колебательной системе хотя и может достигать больших значений, но не является неограниченно возрастающей.

Резонанс, сопровождающийся нарастанием амплитуды колебаний пусть до конечных, но больших значений, может стать причиной разрушения конструкции или возникновения опасных напряжений, сокращающих срок ее службы. Поэтому при проектировании машиностроительных конструкций надо, по возможности, избегать резонанса.

Инерционное возбуждение колебаний В случае инерционного возбуждения колебаний

где /о =Q(ilap, и измеряется в тех же единицах, что и обобщенная координата.

Тогда амплитуду D вынужденных колебаний (см. (19.46)) можно представить в виде

где - коэффициент динамичности при инерционном возбуждении колебаний.

Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при инерционном возбуждении с конечной частотой р отличается от амплитуды вынужденных колебаний при бесконечно большой частоте /7->оо (z-oo).

Зависимости коэффициентов динамичности А, и и сдвига по фазе у от коэффициента расстройки z представлены на рис. 19.14. Коэффициенты динамичности X и А, имеют разрывы при Z = 1, что соответствует резонансу. При z = О Х = 1, что соответствует статическому воздействию на систему, а = О, поскольку при нулевой частоте отсутствует инерционное возбуждение. При z-oo, А.-0,а А. ->1. Сдвиг по фазе у не зависит от способа возбуждения.

2 3 Z в