Q(t) = = т,рЧ, sm(pt + Р) .

Отметим, что при инерционном возбуждении колебаний, в отличие от силового и кинематического возбуждений, амплитуда

обобщенной силы пропорциональна р.

Приведенные примеры, естественно, не охватывают все способы возбуждения вынужденных колебаний, например возбуждение колебаний вследствие перемещения точки прикрепления демпфера. Возможно и комбинированное возбуждение колебаний, объединяющее несколько способов.

Вынужденные колебания при отсутствии вязкого сопротивления

При гармоническом возбуждении, согласно (19.25), дифференциальное уравнение движения имеет вид aq + cq = QQs\n(pt + ),

+ co9 = /oSin(/?/ + P), (19.41)

где /о =Qo/a.

Силовое и кинематическое возбуждения колебаний

Известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения (19.41) можно представить в виде суммы общего решения q однородного уравнения + со9 = 0 и частного решения неоднородного у равнения :

9 = 9оо+9чи- (19.42)

Общее решение однородного уравнения

= С, COSC0/ + C2 sin со/. (19.43)

Частное решение неоднородного уравнения определяется в зависимости от соотношения частот свободных колебаний и возмущающей силы. Возможны два случая: отсутствие резонанса р(!д W резонанс /? = со.

1. Отсутствие резонанса. В этом случае (р(о) частное решение следует искать в виде

=Gsin(/7/ + P),

где G - искомая постоянная величина.

Подстановка в (19.41) приводит к соотношению

G(co-/) = /o.

откуда

В соответствии с (19.42) общее решение уравнения (19.41) будет иметь вид

9 = С, cos со / + Сз sin со / + . sin{pt + Р), (19.44)

со - р

q = A sin(a)/ + а) + , sin(;7/ + Р). (19.45)

со - р

Произвольные постоянные С С2 определим из начальных условий (19.29), используя полное решение (19.44):

Ч=9о--2-i-smP; -----cosp.

(О -р со (0((0 -р)

При необходимости произвольные постоянные А и а можно вычислить через С, и С2 по формулам (19.30).

Как следует из (19.44) и (19.45), движение состоит из двух гармонических колебаний с частотами (о и р соответственно. Первые (с частотой со) можно по аналогии со случаем отсутствия возмущающей силы условно назвать свободными колебаниями, а вторые (с частотой р) - вынужденными колебаниями системы.

Условность названия свободные колебания связана с тем, что определяющие их произвольные постоянные зависят не только от начальных условий (до,до), но и от параметров возмущающей силы (/о,/?,Р), и, следовательно, первые колебания в

решении фактически также являются вынужденными колебаниями. Однако данное название получило широкое распространение лишь потому, что вторые колебания имеют частоту р возмущающей силы, в то время как первые - частоту со свободных колебаний (собственную частоту).

Отметим, что в реальных системах, где всегда присутствуют силы вязкого сопротивления, колебания с частотой со со временем затухают и устанавливаются не зависящие от начальных условий стационарные вынужденные колебания с частотой , т. е.

q= sin(/7/ + p).

со - р

Если /7 < со, то установившиеся вынужденные колебания будут совпадать по фазе с возмущающей силой, если же > со, то вынужденные колебания будут находиться в противофазе (сдвинуты по фазе на л;) по отношению к возмущающей силе.

Введем амплипхуду D вынужденных колебаний:

(19.46)

Тогда установившиеся вынужденные колебания можно представить в виде

9 = Z)sin(p/ + p-y), (19.47)

где у - сдвиг по фазе вынужденных колебаний от колебаний возмущающей силы,

О при р<(о; л; при/7 > со.

Разделим числитель и знаменатель (19.46) на со. Принимая

во внимание, что fo/(o =Qo/c = D (где D - статическое смещение системы от положения равновесия под действием постоянной силы, совпадающей по величине с амплитудой Qq ), получаем