где X - координата груза, отсчитываемая от положения статического равновесия вниз; е = h/2m = 1 рад/с; со=.

Поскольку статическая деформация пружины связана с жесткостью с пружины и весом груза Р соотношением (19.3) (где P = mg), то

, со = 14 рад/с.

Начальные условия в данном случае имеют вид при f = 0; х-Х; i = 0 .

Так как е < со, имеют место затухающие колебания. Условная частота затухающих колебаний cOj = Vco -е =13,96 рад/с. Согласно (19.34),

х = Ае~8т(щ$ + а),

где Л =

Хп +

, л = 0,0501 м.

Главное значение а = arctg- = 1,5 рад. Учитывая, что Xq+exqKO и,

следовательно, а лежит в Ш квадранте, добавим к главному значению а величину к. Тогда решение будет иметь вид

X = 0,050 к sin(13,96/ + 4,641), где ;с в м. Зависимость x{t) представлена на рис. 19.9, б. Выше было отмечено, что затухающие колебания рассматривают на промежутке времени ЗТд = 3/е = 3с. За это время условная амплитуда колебаний уменьшится примерно в 20 раз.

Влияние на свободные колебания сил сухого трения

Дифференциальное уравнение движения тела, скрепленного с пружиной и находящегося на горизонтальной шероховатой поверхности (рис. 19.10), имеет вид

тхл-сх±Р =0,

17 max

- сила сухого трения ТТоТ

скольжения, равная максимальной силе трения покоя (зависимость силы трения скольжения от значения скорости скольжения не учитывается), знак + соответствует движению слева направо, - - наоборот.

х>0 х<0

Рис. 19.10

Ётах

Уравнение (19.39) является нелинейным даже с учетом малости колебаний, однако при определенных начальных условиях:

при / = 0 jc = jCo, jc = 0 (19.40)

можно легко найти его решение, рассматривая последовательно интервалы движения, где знак скорости постоянен и, следовательно, уравнение (19.39) является линейным и может быть представлено в виде

X, +cojC = 0,

где JC, =jc±a; a = F/с представляет собой отклонение тела

от положения равновесия под действием силы, равной максимально возможной силе трения покоя.

При начальных условиях (19.40) на первом интервале тело движется влево, а его уравнение имеет вид

х + (ох = (оа.

При начальном отклонении тела от положения равновесия на величину XQ<a движение не начнется, поскольку упругая сила пружины окажется недостаточной для преодоления силы трения. Полосу -а<х<а называют зоной застоя (рис, 19.11).

Рис. 19.11

При XQ>a решение с учетом (19.40) будет иметь следую-пдий вид:

x = a + (xQ -a)cos(ot.

т. е. на первом интервале решение - косинусоида с амплитудой Xq - а, смещенная вверх на величину а (см. рис. 19.11). Полученное решение справедливо, пока л: < О. Так как

x = -(o{Xq - а) sin со/,

то скорость остается отрицательной до /* = я/со. В этот момент времени тело остановится и его смещение от положения равновесия будет равно

jc, = а + (jcq - a)cos л; = -(xq - 2d), т. е. по абсолютной величине уменьшится на 2а по сравнению с начальным.

Если jC I > а, то движение начнется в обратную сторону и его уравнение примет вид

3c + cojc = -coa.

Отсчитывая время от начала движения в обратную сторону, получаем начальные условия для второго интервала движения: при t = 0 Jc = X, л: = 0. Решение на этом интервале имеет вид jc = (jC +a)cosco/-a

и представляет собой косинусоиду с амплитудой \х +а\ = х - За,

смещенную вниз на величину а (см. рис. 19.11). Через /* =л;/со тело остановится в крайнем правом положении, имея смещение от положения равновесия, равное Х2 = -х - 2а = jcq - 4а (см. рис. 19.11) ит. д.

Движение тела будет продолжаться до тех пор, пока при очередной остановке его в крайнем положении смещение от положения равновесия не окажется по абсолютной величине меньше а. Хотя рассмотренное движение и не является периодическим, можно, как и в случае затухающих колебаний при наличии линейно-вязкого сопротивления, ввести условный период колебаний Г =2п/(о (см. рис. 19.11), характеризующий чередование нулей и максимумов. Период Г, совпадает с периодом колебаний консервативной системы и не зависит от наличия сухого трения. За каждый период 7] амплитуда колебаний уменьшается на величину 4а, т. е. убывает во времени по линейному закону.