Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [ 188 ] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

f = e = - = ; ( .22)

п dt dt dq dt dt

Подставив (19.22) и (19.23) в (19.21), получим

dT dn - = ---2Ф, dt dt

dt dt тцсЕ- полная механическая энергия.

Таким образом, удвоенное значение диссипативной функции Рэлея есть скорость уменьшения полной механической энергии системы.

Составляющую обобщенной силы от сил Pit), зависящих от времени и действующих на систему извне, можно получить стандартным способом, полагая, что вариация обобщеишой координаты 5 не равна нулю, вычисляя сумму элементарных работ

от сил Р, (t) на перемещениях, определяемых 5, и относя полученное значение к 5:

Учитывая (19.13), (19.14), (19.16), (19.19), (19.20) и (19.24), запишем уравнение Лагранжа второго рода в виде

£(дТ

ЭФ ЭЯ , ++3-=б(0,

dq dq

aq + bq + cq = Q(t), (19.25)

где a>0;fc>0;c>0.

Уравнение (19.25) представляет собой дифференциальное уравнение малых колебаний любой линейной колебательной системы с одной степенью свободы. Разделив каждый член этого



уравнения на обобщенный инерционный коэффициент а , получим по аналогии с рассмотренными выше примерами

q + 2zq + (iiq = - Q(t), . (19.26)

где 2г = Ь/а; со =с/а.

19.3. Свободные движения линейной системы с одной степенью свободы

Свободные движения в колебательной системе возникают при отсутствии внешнего воздействия (Q(t) = О) после начального возмущения. В соответствии с (19.25) дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид

aq + bq + cq = 0.

Свободные колебания линейной консервативной системы

В случае консервативной системы Ь = 0, поэтому дифференциальное уравнение движения принимает форму

9 + со9 = 0, (19.27)

где со =с/а .

Запишем решение уравнения (19.27) в виде

9 = С, COSC0/ + C2 sin со/. (19.28) Произвольные постоянные С, и С2 определим из начальных условий:

при/ = 0 9 = 9о. Я = Яо (19.29)

Отсюда

Введем новые произвольные постоянные

A = yjc[7cf; a = arctg (19.30)

и представим решение (19.28) в так называемой амплитудной форме:

q = As\n((ot + a), (19.31)



Произвольные постоянные А и а в соответствии с (19.30) выражаются через начальные условия следующим образом:

а = arctg

При определении а следует учитывать, что если jq > О, то а находится в I или IV квадранте, а если qQ<Q - то во П или Ш, и, следовательно, к вычисленному главному значению арктангенса необходимо добавить п. При 0= а = л;/2, если до >О, и а = -л;/2, если д<0.

Зависимость q{t) представлена на рис. 19.5.


Рис. 19.5

Гармоническими называют такие колебанры, при которых обобщенная координата изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Как следует из (19.28) и (19.31), свободные колебания линейной консервативной системы с одной степенью свободы являются гармоническими. Их характеристиками являются:

со - круговая, или циклическая частота, измеряемая в се-

к)шдах в минус первой степени (с~); ш + а - фаза колебаний, а - начальная фаза колебаний; А - амплитуда колебаний;

Т- период колебаний - время в секундах, за которое фаза колебаний изменится на 2п

Т = 2п/(0=2п[а/с ,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [ 188 ] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка