Разделы сайта
Читаемое
Обновления Apr-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика Окончательно получаем (19.13) Таким образом, в предположении о малости колебаний, кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости. Тогда в уравнении Лагранжа второго рода составам ляющая - тождественно равна нулю. Поскольку кинетическая dq энергия - величина положительная, обобщенный инерционный коэффициент может быть только положительным (а.> О). Согласно (19.8), представим обобщенную силу Q в виде е=еп-ьед-ье(о, (i9.i4) где - составляющая обобщенной силы от потенциальных сил; - составляющая обобщенной силы от диссипативных сил; Q{t) - составляющая обобщенной силы от сил, зависящих от времени и действующих извне. Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил равна где n{q) - потенциальная энергия системы, отсчшываемая от положения равновесия. Так как обобщенная координата также отсчитывается от положения равновесия, то Я(0) = 0. (19.15) Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия:
Первый член в разложении П(д) равен нулю согласно (19.15); второй также равен нулю, поскольку в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремум; четвертый и последующие члены отбрасываем, так как в силу предположения о малости колебаний потенциальная энергия должна содержать члены не выше второго порядка малости. Тогда Обозначим через с и назовем его квазиупругим ко- эффициентом. Единица измерения с определяется единицей измерения обобщенной координаты: если в м, то с в Н/м, если q в рад, то с в Н м . Окончательно имеем n(q) = -cq\ (19.16) Достаточным условием устойчивости положения равновесия, в соответствии с изложенными выше теоремами Лагранжа и Кельвина, является наличие в положении равновесия локального минимума потенциальной энергии. Для минимума функции необходимо равенство нулю первой производной и положительность второй. Тогда условие оО (19.17) является достаточным условием устойчивости положения равновесия колебательной системы с одной степенью свободы. Составляющая обобщенной силы от диссипативных сил (19.9) равна А=1 dq dq dq Учитывая тождество Лагранжа, вытекающее из (19.10): dq dq получаем Введем функцию, называемую диссипативной функцией Рэлея 1 . 1 тогда ед=-. (19.19) Подставим в диссипативную функцию Рэлея (19.18) выражение для скорости (19.10): e=\B{q)q\ С коэффициентом B{q) поступим так же, как с коэффициентом A(q) в выражении кинетической энергии, т. е. разложим его в степенной ряд в окрестности положения равновесия ( = О), а затем учтем только первый член, поскольку диссипативная функция Рэлея уже содержит в себе величину второго порядка малости q, Обозначим В(0) через Ь. Коэффициент b называют обобщенным диссипативным коэффициентом. Единица измерения Ь, как и коэффициентов а и с, определяется единицей измерения обобщенной координаты: если в м, то i в Н с/м , если q в рад, то в Нем. Окончательно получаем Ф = Ъq. (19.20) Диссипативная функция Рэлея по своему определению (см. (19.18)) не может быть отрицательной, однако в частном случае консервативной системы она может равняться нулю при ненулевой скорости обобщенной координаты. Поэтому обобщенный диссипативный коэффициент может быть большим или равным нулю {Ь>0). Для выяснения механического смысла диссипативной функции Рэлея рассмотрим теорему об изменении кинетической энергии для колебательной системы, на которую воздействуют только потенциал1?ные ц диссипативные силы: Здесь
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |