а полная вариация действия 5 примет вид

AS = -mt,-]YEXL)bq,dt,

Sht,)-]fEXL)Ъqdt,

Поскольку траектории движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа (18.55), из последнего уравнения следует

А(5 + Ц) = 0. (18.57)

Принимая во внимание закон сохранения механической энергии Г + Я = Л, из соотношения (18.53) находим

S=\Ldt=\(T-n)dt= \2Tdt-h{t,-to),

h\ (

S + ht=-\2Tdt + hto . (18.58)

Определенный интеграл

W = S + ht = \2Tdt (18.59)

называется действием no Лагранжу.

Вычислим полную вариацию от обеих частей уравнения (18.58) и, учитывая, что вариация постоянной равна нулю (А(А /о) = 0), представим соотношение (18.57) в виде

5(2Г)Л = 0.

Таким образом, при действительном движении AW = 0 и принцип Мюпертюи - Лагранжа формулируется следующим образом: действительное движение голономной консервативной

системы между двумя заданными конфигурациями А и В отличается от кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же полной механической энергией, тем, что для действительного движения, действие по Лагранжу имеет стационарное значение

Из принципа наименьшего действия в форме Лагранжа можно получить уравнения движения голономной консервативной системы. Вычислив в соответствии с (18.59) полную вариацию функции W, находим соотношение

откуда вследствие произвольности и независимости вариаций Ъд, приходим к уравнениям Лагранжа (18.55).

Рассмотрим применение принципов Гамильтона и Лагранжа к исследованию движения материальной точки массой т по гладкой поверхности при отсутствии активных сил.

Согласно закону сохранения энергии, mv= const и, следовательно V = const.

В соответствие с принципом Гамильтона, действие S имеет минимальное значение для действительного движения по сравнению с кинематически возможными движениями, совершаемыми за один и тот же промежуток времени. Для рассматриваемого случая

5 = (Г-Я)/ = }

a значит.

min5 = min

-mv / = /min 2

f 2

Отсюда следует, что v = vj. Из всех кинематически возможных движений,

совершаемых между точками .4 и за один и тот же промежуток времени и но с различными постоянными скоростями, действительным будет то, для которого V = vin . Но так как dS/dt = v i , то 5 = vj и движение по поверхности происходит в кратчайшее время и по кратчайшему пути, т. е. по геодезической линии.

В соответствии с принципом Лагранжа, действие W имеет минимальное значение для действительного движения по сравнению с кинематически возможными движениями, совершаемыми между точками А и В с одной и той же энергией. Для рассматриваемого случая

W = 2 \Tdt = (wv )dt = (mv )t,

a значит,

min W = min(mv)/ = (mv) min(0 .

Отсюда следует, что t = j, поскольку на основании закона сохранения

энергии mv для кинематически реализуемых движений имеет одно и то же значение.

Таким образом, из всех кинематически возможных движений, совершаемых между точками А и В с одной и той же энергией, но за различное время, действительным будет то, для которого t = t. Но dS/dt = v = 2h/m = const. Следовательно, S = vin и движение точки по поверхности происходит в кратчайшее время и по кратчайшему пути, т. е. по геодезической линии.

Принцип стационарного действия Якоби

Принцип Мюпертюи - Лагранжа позволяет выяснить характер движения механической системы в пространстве обобщенных координат . Принимая во внимание формулы перехода к обобщенным координатам:

представим соответствующий дифференциал dr, в виде

П=Я1 и dF=Jdq . ы\ dqi % dq,

Тогда квадрат длины дуги dsj определится как

dsl=dF,dF,=ttdq,dq.

Введем в -мерном координатном пространстве риманову метрику, определив элементарное расстояние между двумя соседними точками q и q + dq формулой

п п п п п п

ds =m,dsl =Y.rnTdq,dqj =JY.ydq,dqj .

к к i j oq, aqj i J

Сопоставляя данную формулу с выражением (18.38) для кинетической энергии, находим