dL

\dqi

dL dq>

d dt

19 JJ

bq,dt.

Бвзынтегральная сумма обращается в ноль, так как согласно условию (18.47), б9,(Го) = 59/() = 0- На основании уравнения (18.54),

dL d

5qidt = 0.

dq dt

Вследствие независимости и произвольности выражения в скобках равны нулю, что и приводит к уравнениям Лагранжа второго рода

E,iL)-j;

dL dq,

= 0 (/ = ],..., ),

(18.55)

записанным с использованием оператора Эйлера

Пример 18.11. Составить уравнение Лагранжа, если движение материальной точки происходит в поле действия силы тяготения.

Решение. В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты q]=x,q2=y- Кинетическая Ти потенциальная П энергии соответственно равны

Т = (х- + у), П = -

Подставим функцию Лагранжа 1 = Т-П в уравнения (18.55) и найдем дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах:

кх ку

Если в качестве обобщенных координат теперь выбрать полярные координаты 1 = г, д2 = ф ,то кинетическая и потенциальная энергии будут определяться соответственно выражениями

Г = (ЧгУ); Я = -.

а дифференциальные уравнения движения точки (18.55) примут вид

т(г-гф-) = -4-; {тгф) = 0. г at

Тот факт, что координата ф не входит в выражение для функции Лагранжа, дает возможность получить из уравнений движения первый интеграл, выражающий закон сохранения момента количества движения, в вцце тгф = С).

Таким образом, ввд уравнений Лагранжа сохраняется независимо от выбора обобщенных координат, однако удачный их выбор (полярные) существенно упрощает структуру уравнений движения, а следовательно, и анализ движения.

Принцип наименьшего действия был установлен ирландским математиком У. Гамильтоном в работах 1833-1835 гг. для случая стационарных голономных связей и был обобщен М. В. Остроградским в 1848 г. на случай нестационарных связей. В работах Л. Больцмана (1866), Р. Клаузиуса (1871), Г. Гельмгольца (1895) показано, что принцип наименьшего действия Гамильтона дает общую основу методики исследования разных физических процессов в механике, оптике, электрогидродинамике.

Принцип наименьшего действия Мюпертюи-Лагранжа

Рассмотрим движение механической системы в поле действия потенциальных сил. За класс допустимых лшшй выберем траектории, переводящие систему из начальной конфигурации А, соответствующей моменту времени , в конечную 5, соответствующую моменту времени . При этом считаем, что на всех

траекториях сравнения система обладает одной и той же механической энергией.

Поскольку силы потенциальны, выполняется закон сохранения механической энергии Г + Я = Л, где h - постоянная величина. Следовательно, скорости точек зависят от положения системы в данный момент времени, и потому время, в течение которого система переходит из точки Аъ В, зависит от траектории движения, и система, совершая перемещения по различньш кинематически допустимым траекториям, будет приходить в точку 5 в разные моменты времени . Индекс 1 указывает на то,

что переменная величина определяет момент прихода системы в точку В.

Рассмотрим действие по Гамильтону (18.53) и подсчитаем полную вариацию S в соответствии с формулой (18.46), учитывая переменность верхнего предела :

AS = L8l\ I + jbLdt = L5t +

dt =

+ (18.56)

i n

51 d dq, dt

5q,dt.

Преобразуем безынтегральную часть полной вариации AS. Из соотношения (18.43) следует

Aq,(t,) = 5q,(to) + q,5to; Aq(t,) = 5q,(t,) +qSt, (/ = 1,..., ). Выразив из данных уравнений bqitQ), 89,(1) и подставив их в безынтегральные слагаемые уравнения (18.56), получим

8/,-lTf8,(M

9,()

-£,(о)тт

1 яг

Время tQ фиксировано, поэтому S/q = 0. Так как начальная А и конечная В точки движения механической системы известны: qi{tQ) = const, 9,) = const, то A9,(/o) = 0, АД/,) = 0

Потенциальная энергия П зависит от обобщенных коорди-

(дп Л dL дт

нат - = 0 и, следовательно, -=-. Кинетическая энергия

представляет однородную квадратичную относительно скоростей форму, поэтому

Таким образом, безынтегральная часть уравнения (18.56) будет равна