Соотношение (1.41) называется тождеством Лагранжа. С учетом (1.39), (1.40) и (1.41) из (1.38) можно последовательно выразивь

d dt

или, обозначив - = Г , окончательно имеем

H,ldt{dq,

дТ dq,

(1.42)

Таким образом, ускорение точки при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих ускорений, параллельных осям этой системы координат,

аае,ае2а;е где - проекции ускорения на оси, определяемые согласно

(1.42),/ = й.

Модуль ускорения в ортогональной криволипнейной системе координат вычисляется по формуле

Задание движения точки в цилиндрической системе координат

Координатами точки в цилиндрической системе координат являются скалярные параметры Д ф, Z. Система уравнений движения точки имеет вид

Ф=Ф(0; (1.44)

z=z(0.

4 Зак. 16

На рис. 1.7 показаны радиус-вектор F, проведенпный из начала координат, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что координатные линии (Z) и ( ф) расположены на поверхности кру; гового цилиндра с радиусом основания, равным R, при этом координатная линия (Z) является его образующей. Данная криволинейная система координат - ортогональная, так как ее оси (MR, Мр, MZ) и соответствующие им базисные векторы (го,о,о) взаимно перпендикулярны.

Рис. 1.7

В рассматриваемом случае декартовы координаты точки могут быть выражены через криволинейные в виде л: = Лсо8ф; > = Л8Шф; z = Z. Тогда коэффициенты Ламе, согласно (1.34), для даьшых криволинейных координат во всех точках определятся так:

Я/г=1; H-R\ N2=1.

Проекции скорости точки на оси цилиндрической системы координат

v=; v=гф; v=z, (1.45)

а ее модуль

ускорения будут

Функция Г = у2 = (Л н-Лф H-Z)/2. Тогда проекции

а/г=Л-Лф; аф=Лф + 2Лф; az=Z, (1.46)

а его модуль, согласно (1.43),

Как частный случай, полагая в (1.45) и (1.46) Z = О, можно получить формулы для проекций скорости и ускорения на оси полярной системы координат с полярной осью, совпадающей с осью Ох (см. рис. 1.7), с полярной координатой г = Л и полярным углом ф (см. (1.23), (1.28)).

Задание движения точки в сферической системе координат

Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры г,ф,9, отсчитываемые так, как показано на рис. 1.8. Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид

-Ф = Ф(0; (1.47)

0 = 0(0.

На рис. 1.8 изображены радиус-вектор F, проведенпный из начала координат, углы ф и 0, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории*. Видно, что координатные линии (ф) и (0) лежат на поверхности сферы радиусом г. Данная криволинейная система координат также является ортогональной. Ее оси Mr, Мр и АЮ и

* Приведенные ниже формулы даны для сферической системы координат с углом 6, отсчитываемым от оси Oz, как показано на рис. 1.8. В некоторых других случаях угол 6 можно отсчитывать от проекции радиус-вектора точки на плоскость Оху, и тогда приведенные здесь соотношения несколько изменятся.