у df dQ

:ydQda) Окончательно имеем

dQ ydQda)

±dQ;

da dQda

dQ) df

dt. (18.46)

Отметим, что для механической системы с п степенями свободы траектории qi,(a,t) могут быть заданы параметрическими уравнениями

Чх, О = 9, (О + 8д, (о, 0; Чи {а, О = qt (О + А/ ( , О ( = U ) .

Принцип наименьшего действия Гамильтона

Рассмотрим механическую систему с идеальными связями в потенциальном поле сил. Пусть - траектория к-п точки системы, по которой происходит перемещение точки из положения А занимаемого точкой в момент времени t, в положение В,,

соответствующее моменту времени . Таким образом, время движения всех точек системы из исходного положения в конечное одинаково и равно i - / о

Наряду с истинной будем рассматривать кинематически возможную траекторию (допускаемую наложенными связями), по которой рассматриваемая точка может перемещаться из положения А, в В, за тот же промежуток времени. Если в некоторый момент времени t (/ </<г,) к-я точка системы занимает в истинном движении положение А/, а в возможном М то вектор 8а =M,Mi определит изохронную вариацию радиус-вектора данной точки. Так как все возможные траектории начинаются в А, и заканчиваются в , то

5гМ = ЬгМ = 0. (18.47)

Представим общее уравнение механики в виде

Интегрируя (18.48) на отрезке [tj ], получаем

5Kdt = 0,

Fk -Щ

(18.48)

(18.49)

Преобразуем первое слагаемое равенства (18.49), принимая во внимание, что действующие на механическую систему актив-

ные силы потенциальны. Так как F5 =-5П, где П- потен-

циальная энергия системы, на основании свойства (18.45) изохронной вариации можно записать

JZ№= j-ndt = -5jndt. (18.50)

,*= h

Каждое из слагаемых, входящих во вторую сумму уравнения (18.49), преобразуем, применяя правило интегрирования по частям:

Безынтегральное слагаемое в последнем уравнении равно нулю, поскольку вариации координат на границе, согласно свойству (18.47), равны нулю. На основании свойства изохронной вариации (18.44), меняя порядок варьирования и дифференцирования, находим

d{br,) =

dt = 5v,dt;

f k - hdt = jm,v,bv,dt = J8

Суммируя в соответствии с уравнением (18.49) полученные соотношения, окончательно имеем

i N

dt=]bTdt = b\Tdt, (18.51)

S= ]Ldt

(18.53)

называется действием по Гамильтону, и соотношение (18.52) примет вид

55 = 0. (18.54)

Равенство (18.54) вьфажает принцип наименьшего действия Гамильтона: среди кинематически возможных движений системы, совершаемых за один и тот же промежуток времени, истинным будет то движение, для которого действие по Гамильтону S имеет стационарное значение.

Пользуясь принципом Гамильтона, можно вывести уравнения Лагранжа второго рода.

Выразим функцию Лагранжа L в зависимости от обобщенных координат и скоростей q,:

I = Z(9i,...,9;i,...,J и применим принцип Гамильтона. Вычислим вариацию действия

55 = 5ji*= J5i= J£

Vi dq,

используя правило интегрирования по частям слагаемых, содержащих производные, меняя порядок варьирования и дифференцирования:

dL ах..

dq, dq.

dt =

где T = -mfvl -кинетическая энергия системы.

Принимая во внимание соотношения (18.50), (18.51), преобразуем уравнение (18.49) к виду

б J(r - n)dt = 5 fi = о, (18.52)

TjxQ L = T-n - функция Лагранжа. Выражение