Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика Структура уравнений Кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, определяется по формуле Т = - mir . 2 ы\ Если данная система с голоиомными нестационарными связями имеет п степеней свободы, то = (9 2 ? 9w о и скорость -й точки Принимая во внимание выражение для г, кинетическую энергию системы можно записать так: (18.37) *=1 дд dt {dt) Если наложенные на систему связи стационарные, то - = О и тогда 5; = О, С = О . В этом случае кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей: <=1 ./=1 (18.38) Производные от кинетической энергии (18.38), соответствующие левой части уравнений Лагранжа, равны 4i ./=1 Таккак d dt QT 1 idA . . a, Ittxdq, Подставляя эти выражения в уравнения Лагранжа, получаем пи Qy п п Ъ-Ы--- (18.39) / = 1, 2,..., . Обобщенные силы являются функциями обобщенных координат, времени и, возможно, обобщенных скоростей, поэтому каждое из уравнений Лагранжа имеет второй порядок. Порядок уравнений не изменится и при нестационарных связях, так как в этом случае в выражения (18.39) войдут слагаемые, зависящие только от обобщенных координат, скоростей и времени. Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода для механической системы с голономными связями представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2п относительно обобщенных координат. Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа второго рода для решения задач аналитической динамики следующая: 1) определить число степеней свободы системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты; 2) вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты 9, и обобщенные скорости ; 3) вычислить производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа; 4) определить обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам; 5) подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа. Пример 18.12. Механическая система, показанная на рис. 18.17, состоит из однородного круглого цилиндра / массой т, и радиусом г, однородного стержня 2 длиной / и массой /Wj , к которому в точках А и В шарнирно прикреплены ползуны 5 и б массами и , а также пружин Зи4, коэффициенты жесткости которых Сз и С4 соответственно. Цилиндр без скольжения катается по горизонтальной плоскости. К нему приложена пара сил с моментом Л/, (О Пренебрегая сопротивлением качению цилиндра, трением в шарнирах и направляющих, а также массой пружин, составить дифференциальные уравнения движения системы. Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем перемещение s центра масс цилиндра 7 и угол ф поворота стержня 2. Полагаем, что при s = 0 и ф = О пружины 5 и не деформированы. Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид = еф. (18.40) ds dt Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий цилиндра У, стержня 2 и ползунов 5 и б: Движение цилиндра плоское, поэтому Так как Vq = s, J, = -- и о), = -, то 2 г Кинетическая энергия стержня 2 определяется по формуле Скорость центра масс стержня =щОР2 , где Р2 - МЦС стержня. Принимая во внимание, что DPj = 2, J= ml JM , ©2 =Ф получаем Ползуны движутся поступательно и, следовательно, ТьгпЛ =w5i: =т5/С08Чф 6 = I б = бд = /Иб sin 2 Ф Ф
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |