Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [ 176 ] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Структура уравнений

Кинетическая энергия механической системы, состоящей из

материальных точек, определяется по формуле Т = - mir .

2 ы\

Если данная система с голоиомными нестационарными связями имеет п степеней свободы, то = (9 2 ? 9w о и скорость -й точки

Принимая во внимание выражение для г, кинетическую энергию системы можно записать так:

(18.37)

*=1 дд dt

{dt)

Если наложенные на систему связи стационарные, то - = О

и тогда 5; = О, С = О . В этом случае кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:

<=1 ./=1

(18.38)

Производные от кинетической энергии (18.38), соответствующие левой части уравнений Лагранжа, равны

4i ./=1

Таккак



d dt

QT 1 idA . . a, Ittxdq, Подставляя эти выражения в уравнения Лагранжа, получаем

пи Qy п п

Ъ-Ы--- (18.39) / = 1, 2,..., .

Обобщенные силы являются функциями обобщенных координат, времени и, возможно, обобщенных скоростей, поэтому каждое из уравнений Лагранжа имеет второй порядок. Порядок уравнений не изменится и при нестационарных связях, так как в этом случае в выражения (18.39) войдут слагаемые, зависящие только от обобщенных координат, скоростей и времени.

Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода для механической системы с голономными связями представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2п относительно обобщенных координат.

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа второго рода для решения задач аналитической динамики следующая:

1) определить число степеней свободы системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты;

2) вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты 9, и обобщенные скорости ;

3) вычислить производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа;

4) определить обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам;

5) подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа.



Пример 18.12. Механическая система, показанная на рис. 18.17, состоит из однородного круглого цилиндра / массой т, и радиусом г, однородного стержня 2 длиной / и массой /Wj , к которому в точках А и В шарнирно прикреплены ползуны 5 и б массами и , а также пружин Зи4, коэффициенты жесткости которых Сз и С4 соответственно. Цилиндр без скольжения катается по горизонтальной плоскости. К нему приложена пара сил с моментом Л/, (О

Пренебрегая сопротивлением качению цилиндра, трением в шарнирах и направляющих, а также массой пружин, составить дифференциальные уравнения движения системы.

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем перемещение s центра масс цилиндра 7 и угол ф поворота стержня 2. Полагаем, что при s = 0 и ф = О пружины 5 и не деформированы.

Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид

= еф. (18.40)

ds dt

Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий цилиндра У, стержня 2 и ползунов 5 и б:

Движение цилиндра плоское, поэтому

Так как Vq = s, J, = -- и о), = -, то 2 г

Кинетическая энергия стержня 2 определяется по формуле

Скорость центра масс стержня =щОР2 , где Р2 - МЦС стержня. Принимая во внимание, что DPj = 2, J= ml JM , ©2 =Ф получаем

Ползуны движутся поступательно и, следовательно,

ТьгпЛ =w5i: =т5/С08Чф

6 = I б = бд = /Иб sin 2 Ф Ф



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [ 176 ] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка