Пусть система имеет п степеней свободы, и ее положение определяется 9i, 92 Яп обобщенными координатами г = = г%(дъ ЯпО- Возможное перемещение к-й точки

ы1 щ1

(18.26)

Подставляя (18.26) в (18.25) и изменяя порядок суммирования, получаем

6-0. (18.27)

В этом выражении V Fj -- = - обобщенная сила, соот-

ветствующая /-й обобщенной координате. Преобразуем выраже-

d dt

d Jt

(18.28)

(18.29)

Так как = 2-+ -, to

Равенство (18.29) называется первым тождеством Лагранжа. Заменив на основании этого тождества производную

-- на -- в первом слагаемом выражения (18.28), получим

d dt

Следовательно,

- ар.

дЧк)

d dt

dq, dt

где Т- кинетическая энергия механической системы.

Преобразуем теперь производную -

Так как

Гк =it(9i92--9 .0, то

-функция обобщенных коор-

динат и времени. Поэтому, с одной стороны,

d dt

С другой стороны.

dqdq.

92 + ...+

dt

Sq dqi

dtdq,

(18.31)

Ч\ +

-q +... +

dqi dqidq, dq,dq2 dqidq dq,dt

Сопоставляя (18.31) и (18.32), заключаем, что

d dt

(18.32)

Это второе тождество Лагранжа. С учетом данного тождества получаем

dtydq,] h dq, dq,

. (18.33)

Подставляя в общее уравнение динамики (18.27) выражение для обобщенной силы а также результаты преобразований (18.30) и (18.33), находим

bq,=0.

(18.34)

Вариации обобщенных координат независимы между собой, поэтому условие (18.34) будет выполнено, если равны нулям множители при всех 8 т. е. если

d dt

= Q i = l,2,...,n.

(18.35)

Уравнения (18.35) таывтпся уравнениями Лагранжа второго рода. Число этих уравнений равно числу степеней свободы. В уравнения Лагранжа не входят заранее неизвестные реакции идеальных связей.

Бели силы, действуюоще на систему, потенциальные, то

а=-, /=1,2,..., .

В таком случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:

d dt

дТ дП

1 = 1,2,..., и.

Iaj dq, dq,

Функция, равная разности кинетической и потенциальной энергий механической системы, называется функцией Лагранжа:

L = T-n.

Так как потенциальная энергия системы является функцией толь-

ко обобщенных координат, то --=--. При использовании

Щ Щ

функции Лагранжа уравнения (18.35) имеют вид

d dt

(18.36)

Обобщенная координата, которая явно не входит в выражение функщш Лагранжа, называется циклической координапюй.

Если qj - Щ1клическая координата, то - = 0 и из (18.36) на-

ходим первый интеграл-= С ,. Таким образом, если в качест-

ве обобщенных удается выбрать щпслические координаты, то вместо системы дифференщ1альных уравнений второго порядка получаем уравнения первого порядка.