Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Для задания движения точки в криволинейных координатах необходимо иметь уравнения движения точки в виде

9,=9Д0;/=й. (1.31)

Характеристиками криволинейной системы координат являются координатные линии и координатные оси.

Координатные линии (q), проходящие через любую выделенную точку М пространства с фиксированными значениями координат д, Ягм соответствующие каждой /-й криволинейной координате, можно определить как годограф радиус-вектора точки л/, изменяющегося в результате варьирования одной вьщеленной i-й криволинейной координаты при условии, что другие сохраняются постоянными и равными их значениям в вьщеленной точке:

=(9ш.92.9зм); (1.32)

1Сасательная к /-й координатной линии в данной точке называется координатной осью Мд, относящейся к /-й криволинейной координате в данной точке (рис. 1.6).

Положительные направления координатных осей задаются единичными векторами, которые называются базисными. Они определяются через частные производные от радиус-вектора точки по /-Й обобщенной координате в данной точке М:

,/ = 1,3. 1.33)

Здесь Hi -

- параметр, который называется i-M коэф-

фициентом Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по /-й криволинейной координате, вычисленной в данной точке М. Каждый из векторов имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора при возрастании /-й обобщенной координаты (см. (1.32)).



Таким образом, в общем случае при любом текущем положении точки М в пространстве можно построить семейство координатных линий (q), осей Л/, и базисных векторов е со-отвествующих каждой из трех криволинейных координат q, (см. рис. 1.6).


Рис. 1.6

Если базисные векторы во всех точках пространства взаимно перпендикулярны, то такая система криволинейных координат называется ортогональной. При этом = О, если

у , / = 1,3, у = 1,3. В дальнейшем будем рассматривать только такие системы.

С учетом (1.30) коэффициенты Ламе могут быть выражены через частные производные от декартовых по криволинейным координатам в виде

19 J

(1.34)



Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

dt dq dq, dq

Проекции скорости на соответствующие координатные оси

равны

=e=H,q, / = 1,3.

(1.36)

Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости

-Н < =4 UUHlqUHlql . (1.37)

В формулах (1.34)-(1.37) значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве.

Проекции ускорения точки М на оси криволинейной системы координат определяют в соответствии с (1.3), (1.33) и (1.35) по формуле

dv

dt dq,

, / = 1,3.

(1.38)

Преобразуем выражение (1.38) к удобной для расчетов форме. Для этого выражение в скобках представим в виде

dv дг

dt dqi dt

дг

.d - V - dt

(1.39)

В последнем слагаемом в (1.39), изменяя порядок дифференцирования, проведем тождественное преобразование

£ dt

dt) dq,

(1.40)

Дифференцируя левую и правую части выражения (1.35), получаем

dv дг

dq, dq.

(1.41)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка