Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси имеют вид

V, =у.Го =г \ Vp =vPo =гф. (1.23)

По знакам проекций v,. и Vp можно установить направления

составляющих скорости (1.22) по отношению к направлениям радиальной и трансве11:альной осей или единичных векторов Fq

и Pq соответственно.

Так как составляющие скорости в (1.22) взаимно перпендикулярны, то ее модуль

+v . (1.24)

Согласно (1.3) и (1.21), ускорение точки at at

Отсюда можно получить

= -(гГо+г(Ро) = гГо+гг+г(р (-25)

В правой части выражения (1.25), согласно правилу дифференцирования единичных векторов (В.87), = фро Ро = ФЬ Таким образом,

а(г- гф )Го + (гф + 2гф) jo. (1.26)

Из (1.26) следует, что ускорение точки также можно представить в виде суммы двух слагаемых:

а=а,+ар, (1.27)

где а,. = (г - гф), ар = (гф + 2гф)о- радиальная и трансвер-

сальная составляющие ускорения точки соответственно.

Проекции ускорения на радиальную и трансверсальную оси*, задаваемые единичными векторами и р, найдутся так:

* Следует заметить, что в рассматриваемом случае направления осей проецирования, задаваемые направлениями единичных векторов и ро, изменяются в

пространстве с течением времени, поэтому в отличие от (1.13) проекции ускорения на направления этих осей не равны производным от проекций скоростей на те же оси: a,v; *Vp.

5* 51

а, =аГо =r-rф =ар =гф + 2гф. (1.28)

Так как составляющие ускорения в (1.27) взаимно перпендикулярны, то его модуль

ayjaj+al . (1.29)

Для определения характера движения (ускоренное или замедленное) точки по траектории следует найти проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению с вектором v . В соответствии с (1.4)

Если полагать, что полярная ось ОР совпадает с осью Ох декартовой системы координат и движение точки происходит в плоскости Оху, то уравнения для перехода от задания движения точки в полярной системе координат в форме (1.16) к заданию ее движения в декартовой системе координат в виде (1.6) будут выглядеть так:

л: = г(/)со8[ф(/)]; 3/ = г(08т[ф(0]. Уравнения для обратного перехода будут следующими:

r = x{tfy{tf ;

Ф = агс1в[>;(/)/л:(/)].

Единичные векторы, образующие векторный базис полярной и декартовой систем координат, связаны зависимостями

- г xJ-yj xj-yi

так что

v.=v/b= ; v=vpo= / ; (1.23)

.= o=-r==; P=5po=-7. (1.28-)

Несложно получить и обратные выражения для проекций скорости и ускорения точки на оси декартовой системы координат через их проекции на оси полярной системы координат.

Пример 1.2, В условиях задачи, сформулированной в примере 1.1 перейти к заданию движения точки в полярной системе координат, полярная ось которой совпадает с осью Ох декартовой системы координат. Для указанного момента

времени г = 1 с найти радиальную и трансверсальную составляющие скорости и

ускорения точки, показать их на чертеже. Решение. В данном случае

Ф = arctg[y(0 А(0] = arctg[c/(0]

Проекции скорости и ускорения точки на радиальную и трансверсальную оси полярной системы координат могут быть вычислены по формулам (1.23) и (1.28) соответственно. Однако удобнее воспользоваться формулами (1.23*) и (1.28*), подставив в них вычисленные в примере 1.1 для момента времени / = 1с значения координат точки и проекций скорости и* ускорения на оси

декартовой системы координат. В итоге получаем: =з/>/2 2,12 м/с;

v=-l/V2 -0,707м/с; = V2 1,41м/с ; =-V2 -1,41 м/с . Радиальные и трансверсальные составляющие скорости и ускорения точки изображены на рис. 1.4.

Задание движения точки в криволинейных координатах

Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменения трех ее декартовых координат X, у, Z как функций времени (см. (1.6)). Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченньк поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра 9i, 92 9з называемых криволинейными, или обобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве. Тогда радиус-вектор точки может быть выражен функцией как декартовьк, так и криволинейных координат:

г = г(х, у, z) = х1 + yj + zk r(q, ?2 ?з) (1-30)

При этом следует иметь в виду, что декартовы коорданаты точки могут также быть выражены в виде функций, зависящих от кри-волинейньк координат:

x = x(q,q2,qs); У = yiquqiq); (ЯиЯг.Яъ)