через обобщенные координаты и их производные по времени обоих тел. Для первого варианта система, состоящая из (4.8), (16.11), (16.58) и дополнительных уравнений связи, должна бьггь полной относительно неизвестных обобщенных координат и силовых характеристик реаюдай между рассматриваемыми телами. Во втором варианте система, содержащая те же уравнения, записанные для каждого из подвижных тел, и дополнительные уравнения связи и моделей фриюдионных сил, должна бьггь полной относительно всех двенадцати обобщенных координат и силовых характеристик реакций между подвижными телами. Указанную стратегию формирования полной системы уравнений движения можно применять и для большего числа тел.

Глава 17

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

17.1. Принцип Даламбера. Сила инерции

Принцип Даламбера сформулирован в 1743 г. и первоначально, в отличие от законов Ньютона, был предназначен для изучения движения несвободных механических систем. В настоящее время этот принцип и вытекающий из него метод кинетостатики рассматривают как удобный прием для определения реакций связей и сил взаимодействия, а также для составления дифференциальных уравнений движения механических систем.

В соответствии с аксиомами динамики основное уравнение движения материальной точки имеет вид

ma=F + R, (17.1)

где F - равнодействующая активных сил; R - равнодействующая реакций связей; а = - абсолютное ускорение точки.

Уравнение (17.1) можно также записать в виде F + R + (-та) = О. Слагаемое (-та) обозначают Ф и называют даламберовой силой инерции (или просто силой инерции). Основное уравнение динамики материальной точки при использовании силы инерции принимает следующий вид:

+ Л + Ф = 0. (17.2)

Так как указанные выше силы образуют систему сходящихся сил, то уравнение (17.2) можно рассматривать как условие равновесия системы сил (,/г,Ф). В этом и состоит принцип Далам-

бера для материальной точки. Формулируется он так: при движении материальной точки в любой момент времени приложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерции образуют систему сш, эквивалентную нулю (уравновешенную систему сил), т. е.

(Д,Ф)соО. (17.3)

Отметим, что в формулировке принципа Даламбера речь идет об уравновешенности определенной системы сил, а не о равновесии (покое) материальной точки.

Таким образом, дополняя систему активных сил и реакций связей, приложенных к точке, силой инерции, получаем уравновешенную систему сходящихся сил, для которой должно выполняться условие равновесия (17.2). В проекциях на оси декартовой системы координат имеем

+К+Ф =0; Fy+Ry +Фу =0; + +Ф, =0,

где Ф, =-тх\Фу =-ту\Ф =-mz; в проекциях на оси естественной системы координат получаем

F,+iг,+Ф,=0; F +iг +Ф =0; F,+,=0,

где Ф, =-та = -т-\Ф =-п - at р

Представление основного уравнения динамики материальной точки в виде (17.2) следует рассматривать как прием, удобный для решения некоторых задач, например для определения сил взаимодействия и реакций связей.

Пример 17.L Определить силу, с которой груз 2 давит на упор 1 тележки (рис. 17.1), если масса груза т, а ускорение тележки а . Трением между грузом и тележкой пренебречь.

Решение. К грузу приложены сила тяжести Р, нормальная реакция N и

реакция R упора. Добавляя в соответствии с принципом Даламбера силу инерции Ф = -та груза, получаем уравновешенную систему сил {Р, N, R, Ф).

Проецируя силы на ось Ох, находим

R = ma.