звано лишь поворотом, т. е. скорость движения конца вектора по его годографу может быть вычислена по формуле Эйлера

w=QxZ, (16.53)

указывающей на то, что ненулевой вектор й обязательно перпендикулярен вектору Kq (рис. 16.14). Здесь u-Kq, а, согласно теореме об изменении главного момента количеств движений,

tQ=LQ. (16.54)

С учетом (16.53), (16.54) в приближенной теории гироскопа

KQ=u = axKQ=LQ, (16.55)

С помощью (16.55) несложно рассчитать скорость прецессии оси OZ гироскопа

по известному моменту внешних сил Lq и дополнительные силовые воздействия вра- .

щающегося ротора на пару опорных под- /V Я- шинников при известной скорости поворо- Годограф;;; - та собственной оси вращения OZ ротора. При этом следует иметь в виду, что по формуле (16.55) вектор Q можно рассчитать лишь с точностью до ЯсоАГ, где X - произвольное число. В самом деле, так как векторы (iyK и Kq коллинеарны, то

(Q + xZ =QxZ.

Формула (16.55) позволяет объяснить ряд важных свойств прецессионного движения оси OZ.

1. Если на некотором интервале времени = О, то w = О. Следовательно, на этом интервале времени ось OZ не имеет вынужденной прецессии (QsO) и сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. Данное свойство используется в технике при построении навигационных систем.

2. Вынужденное прецессионное движение оси OZ не обладает

инерционным свойством. Пока Z; О, то w 9 О, Q 9 О и ось OZ прецессирует. Но как только Lq=Q, то сразу = О, Q = О и

Wo\>Wo\

ось oz становится неподвижной, в отличие от невращающегося тела с одной неподвижной точкой, которое после, например, удара начинает двигаться.

3. Чем больше модуль скорости ф собственного вращения тела (со. Н ФIтем больше главный момент количеств движений Kq и меньше

скорость прецессии Q при одном и том же главном моменте внешних сил Lq (рис. 16.15).

4. Если на точку Д расположенную на оси OZ вращающегося гироскопа, подействовать силой F перпендикулярно оси OZ (рис. 16.16), то точка D начнет двигаться не в направлении силы F , а перпендикулярно ей - в направлении

вектора момента Lq силы F относительно неподвижной точки О.

5. Вектор Q вынужденной прецессии оси OZ перпендикулярен вектору Lq . Для быстрого нахождения направления вектора Q по извест-

направлениям векторов

Kq и

Рис. 16.16

Lq можно использовать правило Н. Е. Жуковского, согласно которому направление круговой стрелки скорости прецессии Q совпадает с направлением кратчайшего поворота вектора Kq к вектору Lq (рис. 16.17).

Рис. 16.17

Приведем примеры анализа динамики гироскопа с использованием формулы (16.55).

Пример 16.4, Рассчитать угловую скорость вынужденной прецессии волчка (рис. 16.18) в случае Лагранжа, если ось OZ динамической симметрии тяжелого быстровращающегося волчка составляет с вертикальной осью Oz инерциальной системы произвольный угол 0 (sin 9 9 О) и скорость вращения волчка вокруг оси OZ (о = const = = (О(>0.

Решение. В выражении (16.55) нам известен горизонтальный вектор

L() = ОС X Р , модуль которого зависит

от угла 0 наклона оси. Рассчитаем кинематику движения оси волчка, т. е. законы изменения углов нутации и

прецессии, полагая, что вектор Kq направлен по оси OZ волчка.

Из условия й = Lq следует, что вектор й горизонтален, поэтому годограф вектора Kq является горизон- Рис 16.18