Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [ 150 ] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Предположим, что движение волчка (рис. 16.12) удовлетворяет условию (16.18). В этом случае векторы w и Kq расположены в подвижной вертикальной плоскости П . Убедимся, что эти векторы также неподвижны в плоскости П .


Сначала покажем, что угловая скорость со тела постоянна по модулю. При условии (16.18) в неподвижной системе Sq аппликата центра масс z. =/cos0o = const, и, следовательно, постоянна не только потенциальная Я, но, согласно интегралу сохранения полной механической энергии, и кинетинеская энергия Т волчка. А так как в случае Лагранжа со = const (см. (16.36)), то на основании выражения (16.25) приходим к выводу, что со +С0у = const и со +С0у +со = const, т. е. угловая скорость волчка постоянна по модулю.



При I ш I = const (0x2 - О, co22 =0)2= const = co, третья проекция также постоянна: (Оу2 = const = сОд. Поэтому вектор ш,

а следовательно, и вектор Kq неподвижны в плоскости П системы 52 и удовлетворяют соответствующим уравнениям (16.21), (16.22) при вертикальном направлении вектора угловой скорости прецессии Q=fk , Заметим, что, согласно уравнению

(16.22), регулярная прецессия (Lq =0) является частным случаем псевдорегулярной прецессии (Lq ФО).

Очевидно, что помимо уже перечисленных констант при псевдорегулярной прецессии а = const; \j/ = const = ; Ф = const = ф, т. е. законы изменения углов Эйлера аналогичны случаю регулярной прецессии.

Рассмотрим теперь влияние силы тяжести и начальных значений проекций со на постоянные Gq , xj/q и ф. Раскроем Lq в выражении (16.22):

Kq=QxKq=OCxP , (16.37)

Векторы ОС и Р лежат в плоскости П , поэтому вектор Mq(P) параллелен горизонтальной оси ОХ 2, т. е. направлен по линии узлов. В проекции на эту ось выражение (16.37) имеет вид

Qj.2z2 - Z2r2 = PI sin Go , (16.38)

[С(фо + cos Go) - AVo cos Gq ]\/о sin Go = PI sin Gq . После сокращения на sinQqO (при sinGq = О имеем случай Эйлера Lq=0) получаем

[С(фо +\/о cosGo)-Axj/o cosGolVo (16.39)

Это уравнение является квадратным относительно Q = xj/q :

(С - A)Q cos Go + СфоЙ - Р/ = О. (16.40)

При cos Go = О оно имеет один корень й = Р Сфо, а при cos Go О - два:



1,2=Сфо/[2(С-)со8ео]х

X [-1 ± 1 + 4Р/(С - А) cos Go /(Сфо fl

Уравнение (16.40) имеет действительные корни при cosGq 0, если

(Сфо) +4P/(C-)coseo >0. (16.41)

Соотношение (16.41) является необходимым условием суш;ество-вания псевдорегулярной прецессии. Данный вид движения возможен лишь при достаточно большой угловой скорости Фо *:

Фо >coL =4P/cos0o(-C)/c. (16.42)

Допустим условие (16.42) выполнено, а угловая скорость фо настолько высока, что

= (шшМ =4Р/(С)со8ео/(Сфо) 1. (16.43) Используем малость ц для нахождения корней уравнения (16.40):

1.2 =Сфо/[2(С-)со80о][-1±7Гп]. Приближенно вычислив дискриминант /l + ц 1 + 0,5li , получаем

-1 + (1 + 0,5ц) 0,5ц; -1 - (1 + 0,5ц) -2 - 0,5ц. Таким образом, корни уравнения (16.39)

Q, -Сфо/(С-)со8 0о -Р (Сфо); (16.44) а2 (Сфо). (16.45)

Первое слагаемое в (16.44) не зависит от силы тяжести волчка и соответствует быстрой скорости регулярной прецессии (16.31) в случае Эйлера, прямо пропорциональной скорости собственного вращения фо. Этот вид движения волчка возможен при малом моменте Р1 и быстром собственном вращении.

* Установлено, что требование фо > 4Р1(А - С)/является необходимым и достаточным условием устойчивости спящего волчка (> О, Gq = О ). При этом волчок, эллипсоид инерции которого выгянут вдоль оси OZ (А>С), должен иметь более высокую скорость собственного вращения, чем волчок с эл-лршсоидом инерции, сплюснутым вдоль оси OZ (С > А) .



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [ 150 ] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка