a,= - = a~ =----.

dt V V

Пример LI. Движение точки задано на плоскости в декартовой системе координат уравнениями движения ввда х = Ы; y = ct, где Ь = 1м/с ; с = 1 м/с. Определить траекторию точки, а также для момента времени г = 1 с найти и

изобразить на чертеже ее скорость, ускорение и их составляющие.в декартовой системе координат. Установить характер движения точки (ускоренное или замедленное) для данного момента времени.

Решение. Исключив из уравнений движения время, получим уравнение траектории точки в ввде х = (Ь/с)у, что соответгсгаует уравнению пзаболы (рис. 1.4). Траекторией будет являться липп. часть параболы, расположенная выше оси абсщ1сс, так как координата;/ при г > О может быть только неотрицательной, т. е. у> 0. Проекции скорости и ускорения точки на оси декартовой системы координат, согласно(1.11)и(1.14), имеютввд: Vj,=2bt; = с; = 26 ; = О.

Для г = 1с получаем jc = 1m, у==1м, Vj, = 2m/c, v=1m/c, л,=2м/с, ау=0. Составляющие скорости v, и ускорения точки, а также ее скорость v и ускорение а изображены на рис. 1.4. МоДули скорости и ускорения равны

v = Vvx+v =л/5 2,23м/с; л = д/Г = 4 =2м/с

Рис. 1.4

На чертеже ввдно, что угол между векторами v и а меньше 90®, так что движение точки следует считать ускоренным (> О ). Действительно, в данном случае при г = 1 с

--> = Ь79м/с dt v

Задание движения точки в полярной системе координат

Если движение точки происходит в некоторой плоскости, то иногда целесообразно использовать полярную систему координат. Положение точки А/в ней определяется координатами г и ф, являющимися скалярными величинами (рис. 1.5).

РасйЬложение полярной оси (луча, проведенного на плоскости из некоторой точки О) выбирают в плоскости движения точки, исходя из удобства решения задачи. Полярный радиус г - скалярный неотрицательный параметр, равный длине отрезка ОМ, т. е. расстоянию от начала координат (точки О) до точки М Полярный угол ф - это угол между полярной осью и линией ОМ, При отсчете угла ф за положительное принимают направление, противоположное направлению движения часовой стрелки. Ортами полярной системы координат, составляющими ее векторный базис, являются единичные векторы Fq и Первый из них направлен из начала координат О к точке М и задает положительное направление радиальной оси Or. Второй ему перпендикулярен, находится путем поворота первого на 90° против направления движения часовой стрелки и определяет положительное направление трансверсали, т. е. поперечной оси Ор, перпендикулярной радиальной оси (см. рис. 1.5, а). Орты полярной системы координат Fq и р являются подвижными, изменяющими свое направление с изменением угла ф.

Для задания движения точки в полярной системе координат необходимо иметь уравнения движения в виде

1ф=ф(0-

Система (1.16) является также параметрической формой записи уравнения траектории точки. Если из (1.16) исключить время, то уравнение траектории можно получить в форме

* Как будет показано далее, для общего случая криволинейных координат, частным случаем которых являются полярные координаты, начало указанных на данном рисунке осей и единичных векторов может быть огаесено и в текущее положение точки на траектории ее движения (см. рис. 1.5, б).

5 Зак. 16 4р

/(г,ф) = 0. (1.17)

В полярной системе координат радиус-вектор точки, проведенный из центра О, равен г = гг и, согласно (1.16), выражается так:

r=r(t)r,. (1.18)

х(Р)

Рис. 1.5

Уравнение (1.18) соответствует векторному уравнению движения точки в форме (1.5). Тогда на основании (1.1) скорость точки

dirr.) dr. uiQ dt dt dt

(1.19)

В (1.19) производную drldt, согласно правилу дифференцирования вектора постоянного модуля (см. формулу В.87), можно определить так:

dvQ с/ф

С учетом (1.20) выражение (1.19) примет вид

Kdt)

Гп+Г

(1.20) f

(1.21)

Из (1.21) следует, что вектор v представляется в виде суммы двух векторов, каждый из которых является составляющей скорости по направлению, задаваемому векторами Fq и Pq соответственно. Первое слагаемое в (1.21) называется радиальной составляющей, а второе - трансверсатной составляющей скорости точки:

V. =гь; р=г<РРо- (1.22)