Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

внешних сил и проекциями угловой скорости ш тела. Каждое уравнение системы (16.11) содержит произведение проекций вектора со, поэтому динамические уравнения Эйлера являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно этих проекций.

Но поскольку расчет проекций вектора ш на подвижные оси системы s не является конечной целью анализа, ибо остается нерешенной задача о пространственной ориентации этих осей, то динамические уравнения Эйлера дополняют кинематическими уравнениями Эйлера (4.8), устанавливающими связь между проекциями вектора тб и скоростями изменения углов Эйлера. Относительно углов Эйлера система (4.8) также является системой нелинейных дифференциальных уравнений, поскольку содержит тригонометрические функции углов.

Для простоты далее полагаем, что вектор Lq явно зависит только от времени t и параметров кинематики.

К настоящему времени известны только три случая совместной интегрируемости этих систем в аналитическом виде для тела с произвольным или специальным соотношением главных моментов инерции при произвольных начальных условиях для углов Эйлера и их первых производных по времени, когда вектор

Lq представляет собой момент единственной силы - силы тяжести тела в однородном поле.

1. Случай Эйлера: форма эллипсоида инерции в точке О -

любая, Lq = о .

2. Случай Лагранжа: форма эллипсоида инерции в точке О - поверхность вращения, центр масс тела расположен на оси динамической симметрии.

3. Случай Ковалевской*: форма эллипсоида инерции в точке О - поверхность вращения с осью динамической симметрии OZ, причем А = В = 2С, центр масс расположен в плоскости OXY.

Общие аналитические решения системы динамических и кинематических дифференциальных уравнений с произвольными начальными условиями предложены Л. Эйлером в 1756 г., Ж. Лагранжем в 1784 г. и С. Ковалевской в 1889 г. Решение С. Ковалевской получило наивысшую оценку в конкурсе, объявленном академией наук Франции.



в связи с тем, что теорема об изменении вектора имеет инвариантную запись для случаев движения механической системы относительно инерциальной системы отсчета Sq (точка О неподвижна в .Sq ) и относительно осей Кенига (точка О является центром масс механической системы), система дифференциальных уравнений сферического движения (16.11) применима и для изучения сферического движения твердого тела относительно осей Кенига. Поскольку запись теоремы об изменении кинетической энергии также инвариантна для указанных вариантов систем отсчета движения, то последующее изложение данной темы следует считать справедливым для двух физически различных случаев: когда точка О твердого тела неподвижна в инерциальной системе отсчета и когда она неподвижна в осях Кенига, т. е. является центром масс тела.

Случай Эйлера. Движение по инерции

Рассмотрим простейший случай системы (16.11), когда на некотором интервале времени Z(/) = 0, а следовательно, Lx = = Ly = Ly = 0 и

Асох +{С - В)(0у(0у =0;

iBcbj, +(-С)(оШд. =0; (16.12)

Сш +(В - А)(Ох(у =0. Сферическое движение твердого тела, подчиненное уравнениям (16.12), называют случаем Эйлера, Согласно (16.12), кинематические параметры движения тела не зависят от внешних сил, поэтому случай Эйлера иногда называют также сферическим движением тела по инерции.

Система (16.12) принципиально может быть решена относительно трех неизвестных функций времени / для проекций вектора ю. Однако, если среди моментов инерции А, Д С нет одинаковых, то ее общее аналитическое решение (т. е. пригодное для любых начальных условий) представимо через специальные функции Якоби. При этом движение тела может быть как периодическим, так и непериодическим.



Первые интегралы в случае Эйлера. Несмотря на то что система уравнений (16.12) не имеет общего решения в элементарных функциях, путем несложных преобразований (16.12) можно вывести два независимых, достаточно простых алгебраических соотношения в элементарных функциях от проекций вектора ш. Такие соотношения называют первыми интегралами уравнений (16.12), поскольку, являясь прямым следствием (16.12), они уже не содержат производных от неизвестных проекций вектора ш . Ниже они используются для анализа кинематических параметров движения твердого тела.

Первые интегралы системы (16.12) легко вывести косвенным образом, опираясь на общую запись теорем об изменении главного

момента количеств движения относительно точки О (Kq =Lq) и об изменении кинетической энергии (t = W). Применим эти теоремы для исследуемого твердого тела в системе отсчета Sq . Мощность внутренних сил твердого тела равна нулю, а мощность внешних сил можно рассчитать через мощность эквивалентной системы сил, т. е. с помощью главного вектора и главного момента внешних сил: W =W = R Vq + Lq ш. В случае Эйлера

v; =0, Lq=0, поэтому W =0. Тогда теоремы имеют очевидные интегралы

Kq = const, 2r = const. (16.13)

Физический смысл этих интегралов состоит в том, что пока

Lq = о, вектор главного момента количеств движения относительно точки о и кинетическая энергия тела остаются постоянными, т. е. нетривиальное движение тела в случае Эйлера безостановочно. Однако, сохраняя модуль и направление в инерциальном пространстве, вектор Kq может изменять направление по отношению к движущемуся телу.

Выразим (16.13) через проекции векторов Kq и ю на главные оси инерции тела. Для этого первое уравнение (16.13) умно-, жим скалярно само на себя:

Kq-Kq =К1 +К1 +К1 =const, (16.14)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка