циальным уравнениям движения материальной точки в соответствующей системе координат (см. гл. 13).

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

В случае вращения вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы. Для получения дифференщ1ального уравнения вращательного движения твердого тела воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно оси вращения Oz, записав (15.60) в виде

где для твердого тела = Усо = ./ф. Тогда

ЛФ = 1л.(/). (16.3)

Выражение (16.3) называется дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его можно также записать в виде

. = EA/.(F/*>) или J,s, =SM,(FW).

Начальные условия для случая вращения твердого тела во-кр)т неподвижной оси следующие: при г = Го ф = Фо Ф = о) = фо.

npuMq} 16.1. Тело 1 с валом 2, вращающееся свободно с угловой скоростью ©о вокруг вертикальной оси Oz (рис. 16.1, а\ начинает тормозить под действием момента сил аэродинамического сопротивления относительно оси вращения, пропорционального угловой скорости тела: \М = аю. После того как угловая

скорость тела уменьшилась вдвое, дополнительно включается механическая тормозная система, и к валу 2 тела 7, имеющего радиус R, пружиной прижимается тормозная колодка 3 (см. рис. 16.1, а). Сила сжатия пружины постоянна и равна Q\ коэффициент трения скольжения колодки о вал / Определил : 1) число оборотов, совершенных телом с начала торможения до момента включения механической тормозной системы; 2) закон изменения угловой скорости тела от времени с момента включения тормозной системы; 3) время от момента включения тормозной системы до полной остановки тела. Принять, что момент инерции тела с валом относительно оси вращения равен У, трением в опорах вала пренебречь.

Рис. 16.1

Решение. 1. В соответствии с расчетной схемой, приведенной на рис. 16.1, б, для первого этапа движения тела дифференциальное уравнение (16.3) его вращения вокруг вертикальной оси Oz имеет вид

где J,-J\ = -ао)..

Понизим порядок производной в левой части этого уравнения и перейдем от производной по времени к производной по углу:

ofo), afф flfcD.

dt dt d(p

Тогда

, d(i).

M,--aco,. d(p

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно получаем

-ofcD, =--а(ф ; -ю, =-ф + С,. а * а *

Для определения константы интегрирования С, используем начальнйе условия: при г = О ф = О, О). = о. Отсюда С, = (J/a)(OQ , так что

Ф = (У/а)(юо-а),).

Число оборотов, совершенное телом до момента уменьшения его угловой скорости в два раза,

L,=o.S(o (У/а)(Юо-0,5й)о) JcOp

2. Дифференциальное уравнение (16.3) вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Oz на втором этапе движения (с момента включения механической тормозной системы), согласно расчетной схеме, приведенной на рис. 16.1, в, имеет вид

Здесь момент сил сухого трения относительно оси Oz будет равен А/р = = -FR , где F = fQ - модуль силы трения скольжения. После всех подстановок имеем

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно получаем

-- = -{oi/J)dt; ln(a), + fQR/a) = -{a/J)t ч- Q.

0), + jQR/oL

Константу интегрирования C2 найдем из начального условия, по которому угловая скорость в начале второго этапа движения равна угловой скорости в конце первого, т. е. при г = О = 0,5а)о. В таком случае

С2 = 1п(0,5Юо + /е/а),

и, следовательно,

0), = (0,5а)о + fQR/a)&xp{-at/J)-fQR/a .

3. Время t с момента включения тормозной системы до полной остановки тела 7, когда его угловая скорость станет равной нулю, найдем из последнего выражения, полагая, что при t = t = О:

t, = -In а

1 + -

2fQR)

Плоское движение твердого тела

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела получим на основании теорем о движении центра масс и об изменении главного момента количеств движения в относительном движении по отношению к центру масс.

Введем неподвижную систему координат, например Oxyz, в которой, согласно (15.18), для центра масс тела будем иметь