Из начальных условий определяем С2 = О . Таким образом, уравнение движения плиты имеет вид

2(r2 + /?2)(w + w, +W2)

2. Определим мощность двигателя лебедки, обеспечивающего заданный закон ф(0. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы в форме

Для данной задачи правая часть уравнения равна мощности двигателя лебедки W. Кинетическая энергия системы

тх т,х к m,vl JcX 2 2 2 2 2 где 0)1, а), - проекции угловых скоростей блока лебедки и катка соответст-

, причем угловые ускорения блока лебедки

венно, (Dj = ф = 8/, CD2 -8 =8 и катка 8,=©,=--

, а ускорение плиты а = а, = Зс = /1.

Мощность двигателя найдем из уравнения W = - , т. е.

Ж = (/и + /и,)ьсх +jcd.e + m, х--Etix-

После преобразований получим

w + w,+W2 {R2r> (2+2)4

3. Для определения силы натяжения каната воспользуемся теоремами о движении центра масс системы в проекции на ось Ох (рис. 15.41, б) и об изменении главного момента количеств движения относительно центра масс для катка (рис. 15.41, в) и запишем

(w + m,)x = 5 + F; Л,8, =5V2-F/?2, (5 = 5,F = r).

Отсюда

S-- = --

Глава 16 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

16.1. Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Плоское движение твердого тела

Задачи динамики твердого тела могут быть решены на основе системы дифференциальных уравнений движения, выведенных, например, из общих теорем динамики для общего случая движения твердого тела: теоремы о движении центра масс (или теоремы об изменении количества движения) и теоремы об изменении главного момента количеств движения механической системы (в данном случае твердого тела) в относительном движении по отношению к центру масс. Эта система должна быть дополнена геометрическими и кинематическими соотношениями для используемых координат в соответствии с видом наложенных связей и числом степеней свободы твердого тела, а также начальными условиями, которые определяют положение тела, его угловую скорость и скорость центра масс в момент времени (как правило /q = О) в выбранной системе отсчета. Однако для решения многих задач можно использовать не полную систему дифференциальных уравнений движения тела, полученную для общего случая его движения, а только дифференциальные уравнения, выведенные для описания конкретного вида движения, полагая при этом, что вид движения определяется связями, наложенными на тело, и системой приложенных к нему активных сил.

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении тела его угловая скорость, а следовательно, и главный момент количеств движения относи-

тельно центра масс тождественно равны нулю. На основании теоремы о движении центра масс механической системы, уравнение (15.18) применительно к рассматриваемому случаю имеет вид

ma=fF,\ (16.1)

где т - масса тела; а - ускорение центра масс тела, равное ускорению любой его точки при поступательном движении.

Уравнение (16.1) можно также записать в виде векторного дифференциального уравнения поступательного двгююения твердого тела:

= f,Ft . (16.2)

В общем случае поступательного движения тело имеет три степени свободы и его движение можно задать, определив движение центра масс тела в декартовой системе координат. В проекциях на оси декартовой системы координат для (16.2) получаем

к=\ к=\ Л=1

Начальные условия в данном случае имеют вид: при / =

х = Хо, у = Уо, Z = Zq, Х = Хо, У = Уо, Z = Zq.

в проекциях на оси естественной системы координат (при естественном способе задания движения центра масс в данном случае тело имеет одну степень свободы) уравнения (16.2) записывают так:

>ns = ±F;m = tFhO = tF,f,

к=\ Р Л=1 Л=1

где S = s{t) - закон движения центра масс тела по траектории. Начальные условия в этом случае принимают следующий вид:

при t = tQ S = Sq,S = Sq,

Аналогичным образом можно записать дифференциальные уравнения движения твердого тела в проекциях на оси любой другой инерциальной системы координат и сформулировать начальные условия. Видно, что эти уравнения подобны дифферен-