Константы интегрирования определим из начальных условий (при г = 0 л- = О . л- = О ):

а:,- с а:, п

Теперь, когда известно движение рейки, определено и движение шестерен. По теореме об изменении главного момента количеств движения шестерни 3 относительно оси Oz (рис. 15.39, б)

J38.3 = -5гз -азО), ,

отк>да

зег,+азО>г,

где =-\-- : (0.3 =-.v-.

При / = О .Y = О, поэтому ш-з = о, а из уравнения движения следует, что при этом х = А . Тогда

Для определения реакции опоры О3 запишем теорему о движении центра масс шестерни 3\

N *=1

N N N

Откуда следует = О, а значит = о ; = О , или

A ,4-yV = ,4-5tgp = 0; П,+5 = 0.

Угол Р здесь задан (см. рис. 15.39, б). Для начального момента времени

.Y ,=-5tgP = -tgP; П,=-:,

откуда

cosP

Пример 15.10. Эллиптический маятник состоит из тела А массой т и шарнирно скрепленного с ним математического маятника АВ. Длина маятника АВ-1, масса точки В равна /и, (рис. 15.40). В начальный момент система покоилась, маятник находился в левом горизонтальном положении (ф = О ).

Рис. 15.40

Определить при ф = - рад, т = 3т: 1) угловую скорость стержня АВ и ко-6

ординату X тела /J; 2) ускорение тела А и угловое ускорение маятника; 3) силу, с которой система действует на плоскость. Трением пренебречь.

Решение. 1. Для определения положения системы (эллиптического маятника) введем обобщенные координатыхи (р.

Внешними для рассматриваемой механической системы являются силы тяжести тела Р -mg , P\=rng и нормальная реакция гладкой поверхности N . Эти силы перпендикулярны оси Ох, поэтому сумма их проекций на ось Ох равна

нулю: F = 0 . По теореме об изменении количества движения в проекции на ось Ох

(15.116)

После интегрирования имеем QC. Таким образом, согласно закону сохранения проекции количества движения на ось Ох, первый интеграл дифференциального уравнения для рассматриваемой системы определен.

Количество движения для эллиптического маятника Q =mv-\- mVg, где v , - соответственно абсолютные скорости тела А и точки В. Тело А совершает поступательное движение. Движение точки В представим как сложное: относительное по окружности радиусом АВ с относительной скоростью v и переносное с переносной скоростью v*, равной скорости v груза/1. Имеем

Уравнение (15.116) принимает вид

mx + m{x-l(psin(p)=C, ши (/и + /и,)Ьс-т,/ф8тф = С1. (15.117)

Для определения угловой скорости стержня АВ требуется еще одно уравнение, которое получим с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме:

к=1 к=\

Кинетическая энергия эллиптического маятника

2 2

где vl =(v +vf =/ф -2/фд:8Шф + л: . Окончательно имеем

Т=--т,/фХ81Пф + -5у. (15.118)

Здесь сумма работ внутренних сил a{f)=0 ; сумма работ внешних сил

определяется выражением a{f*)= A{mig)+ A{mg)+ a{n), в котором работы

силы тяжести тела А и нормальной реакции равны нулю, так как перемещение тела А перпендикулярно этим силам во все время движения. Работа силы тяжести точки В

(/-) (v)

так как J/w,gfl!x = О ввиду того, что вектор P = w,g перпендикулярен dx .

Для решения задачи необходимо сформулировать начальные условия:

приг = 0 х = 0, ф = 0, jc = 0, ф = 0. (15.119)

Тогда с учетом начальных условий (15.119) в уравнениях (15.117) Q =0, а из (15.118) следует, что начальное значение кинетической энергии системы равно нулю, т. е. Го = О, и

A{mg)= mgds = mglсо8ф<з?ф = niyglsmip .

(л) о

Получаем систему уравнений

(/и + т1)Ьс-т,/ф8Шф = 0; (15.120)

---г--т,х/ф81Пф+-= mlg/slnф, (15.121)