Преобразуем уравнение (15.54), выражающее теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра О, с учетом (15.71):

2m = Mo{F). at

(15.72)

(15.73)

Записанную в виде (15.73) теорему об изменении момента количества движения материальной точки называют теоремой площадей.

Движение точки под действием центральной силы. Рассмотрим движение точки М массой т под действием силы F , линия действия которой проходит через центр О во все время движения точки М(рис. 15.23). Такую силу называют центральной. Центральными являются силы взаимодействия Солнца с планетами Солнечной системы, в частности с Землей.

Рис. 15.23

Согласно определению центральной силы, момент силы F относительно точки О

Mo(F) = rxF=0,

и из(15.72) следует, что

= О, или ко = const. (15.74)

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат, согласно (15.37), имеем

к, =m{yz-zy) = C; ку =m(zx-xz) = C2; к =т(ху-ух) = С. С Сз, Сз - постоянные.

Умножая первое уравнение (15.75) на х, второе - на у, третье - на Z и складывая полученные выражения, получаем

хк + уку + zk = Сх + С2У + Cz = О,

т. е. координаты точки М(х, у, z) удовлетворяют уравнению

плоскости, проходящей через начала координат.

Итак, траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр силы.

Закон площадей. Согласно выражениям (15.71) и (15.74),

kg = 2mv = const.

Отсюда

а следовательно.

do -;

= -= const, at

v.= = C, (15.76)

v,=Mo(v) = C. (15.77)

Интегрируя (15.76), получаем (при / = О а = Gq ) o = Oq +Ct.

Уравнение (15.76) выражает закон, или интеграл площадей: при движении материальной точки под действием центральной силы секторная скорость точки постоянна, а значит, площадь, ометаемая радиус-вектором точки, пропорциональна времени движения точки.

в полярной системе координат закон площадей имеет вид

гф = const.

Пример 15.6. Рассматривая планету Солнечной системы как материальную точку, движущуюся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце, определить отношение наибольшей и наименьшей скоростей планеты (рис. 15.24).

Рис. 15.24

Решение, Согласно формуле (15.77), A/(v) = const, или r,v =тахт1п Отсюда Vjax /min = max /min Т. С. отношсние наибольшсй И наимсньшсй скоростей движения планеты равно отношению наибольшего и наименьшего расстояний планеты от Солнца.

Теорема Резаля

Теореме об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О, определяемой выражением (15.59), можно дать кинематическое толкование. Запишем формулу для вычисления скорости движущейся точки Л/(рис. 15.25, а):

dr V = -. dt

Здесь скорость v точки является также и скоростью конца радиус-вектора г, проведенного в точку Л/, при движении по годографу этого вектора, а траектория точки М и есть годограф радиус-вектора г.