Глава 1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

1Л. Скорость точки

Кинематика точки - раздел кинематики, в котором исследуется механическое движение материальных точек.

Одной из важных характеристик движения точки является траектория, т.е. геометрическое место последовательных (с течением времени) положений точки в пространстве, определяемое в той или иной системе отсчета.

Другими кинематическими характеристиками движения точки являются скорость yi ускорение.

Основными задачами кинематики точки являются задачи по определению траектории, скорости и ускорения точки, а также исследованию закономерностей их изменения.

Среди способов задания движения точки выделяют вектор-ныщ координатный и естественный. Все три способа взаимосвязаны, т. е. возможен переход от одного способа задания движения точки к другому.

Предположим, что точка при движении по траектории в момент времени t совпадает с точкой А/и ее положение определяет радиус-вектор r{i), проведенный в некоторой системе отсчета из

неподвижной точки О, а в момент времени {t + At) - с точкой Afi, которой соответствует радиус-вектор г(Г + А/), (рис. 1.1). Пр1фащение радиус-вектора за промеяток времени Дг составит Дг = F(r + Д/) - 7{i). Отношение этого приращения к промежутку

времени Д можно определить как среднюю скорость toxl за время At, Vcp= AF/At. Предел этого отношения, когда промежу-

ток времени At стремится к нулю, называют скоростью точки в момент времени t Такой предел есть производная от радиус-вектора точки по времени, т. е.

v=lim-= -= г. (1.1)

дг-*о At at

Траектория точки

отсчета

Рис. 1.1

Вектор направлен по приращению Аг радиус-вектора точки, т.е. по направлению секущей ММ. При стремлении At к

нулю секущая в пределе становится касательной к траектории в точке А/, поэтому вектор v направлен также по касательной (см. рис. 1.1).

Таким образом, скорость точки есть векторная физическая величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора точки; скорость всегда направлена по касательной к траектории, а ее численное значение определяется модулем v.

Единица измерения скорости в СИ - метр в секунду (м/с).

Путь Z, пройденный точкой по траектории за промежуток времени А = (/2 можно определить как предел суммы модулей приращений радиус-вектора точки Дг за малые отрезки

времени At, на которые разбивается промежуток времени (2 - 1), при условии, что AF О, Ajt -> О :

L= lim Wk\= lim S

Ar,=

v(t)dt.

(1.2)

Здесь v(0 = v(0 - модуль скорости, выраженный в виде функции времени.

1.2. Ускорение точки

Если откладывать вектор v =v(0 точки в текущие моменты

времени из некоторой неподвижной точки Oi, то получим линию

в пространстве, называемую годографом скорости (рис. 1.2, а). Очевидно, что приращение скорости за время At составит Av = v(/ + Д) - v(t). Отношение этого приращения к промежутку

времени At, за который оно произошло, определяет среднее ускорение точки за рассматриваемый промежуток времени. Предел этого отношения при At, стремящемся к нулю, называется ускорением точки в момент времени t, т. е.

Av dv dr 11 л = lim- = -= v=-- = r .

A/-*o At dt

(1.3)

По своему физическому смыслу ускорение есть скорость изменения скорости, и направлено оно по касательной к годографу скорости (см. рис. 1.2, а).

Определим направление вектора а, вычисляемого согласно (1.3), по отношению к траектории точки. Очевидно, что направление вектора Av I At всегда совпадает с направлением приращения скорости Av . При At-0 точка на траектории приближается к точке М, а плоскость, в которой лежат векторы v и Av , поворачиваясь вокруг вектора v , т. е. касательной к траектории в точке М, занимает свое предельное положение, совпадающее с плоскостью, являющейся соприкасающейся плоскостью кривой