Разделы сайта
Читаемое
Обновления Apr-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика где - ускорение к-й точки; F/ , F/ - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на к-ю точку. Просуммируем уравнения (15.14) по всем точкам механической системы: i =i/+i/- (15.15) к=\ к=\ к=\ Здесь главный вектор внутренних сил R = Х/ Продифференцировав дважды по времени выражение (14.1) для определения радиус-вектора центра масс системы, получим Mvc=fm,v (15.16) Ma,=fm,a (15.17) где - абсолютная скорость центра масс системы. С учетом (15.17) уравнение (15.15) примет вид Л/а,. =иЩ=К\ (15.18) где i? = Х/ - главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему. Теорема о движении центра масс механической системы формулируется так: центр масс механической системы движется как материальная точка, как бы обладающая массой системы, под действием системы всех внешних сш, действующих на точки системы. В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат уравнения (15.18) имеют вид Мх, = tFif> ; My, = tF ; Mz, = F) , (15.19) k=\ k=\ k=\ где x, , - проекции ускорения a центра масс механической системы. Из теоремы о движении центра масс вытекают два следствия. 1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т.е. i?=0, то из (15.18) следует, что = - = О, откуда после интегрирования получаем dt Vr= = C,. (15.20) Интегрируя (15.20), находим =С,/ + С2. (15.21) Постоянные С С2 определяем из начальных условий: при / = О =Г(о, V( =V(o- Для текущего момента времени при i? =0 окончательно имеем Таким образом, если главный вектор внешних сил, действующих на точки механической системы, равен нулю, то центр масс механической системы движется прямолинейно и равномерно. Если = О, т. е. центр масс в начальный момент времени находится в покое, то vr=0, f,.=f,. (15.22) Т. е. центр масс покоится в течение всего времени движения системы при условии, что Л = О. Замечание. Воспользуемся условием (15.22) и запишем для текущего и на- n n чального положений механической системы Мr = тг и Mr-q = тго к = \ к=\ (см. рис. 15.2). Вычитая из первого выражения второе, получаем Ykik - io) = щк = о. к=\ к=\ Следовательно, отдельные точки системы могут перемещаться при R* = О и покоящемся центре масс. 2. Пусть теперь проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на одну из осей (например, ось Ох) равна нулю i? =Хь тогда из первого уравнения (15.19) следует а,. = Зс = О, а значит v,. = х = С л:,. = Ct + Cj. Постоянные определяем из начальных условий: при t = 0 х. = X(-Q, v,. = = . Для любого момента времени при RJ = О окончательно имеем Если XfQ = О, т. е. проекция скорости центра масс на ось Ох в начальный момент времени равна нулю, то Хс=0, Хс =Хсо (15.23) в любой момент времени. Замечание. Воспользуемся условием (15.23) и, согласно (14.2), запишем для текущего и начального моментов времени Мх = Пкк со = кко *=1 к=\ Вычитая из первого уравнения второе, получим ;m,(,-,o) = S .Ax,=0. (15.24) Из уравнения следует, что перемещение к-й точки Ах = - о вдоль оси Ох существует при Л]* = О и отсутствии перемещения вдоль этой оси центра масс. Пример 15.1. Тело У массой т, имеет паз, в котором движется материальная точка 2 массой , ZOAB = а , ОА = / (рис. 15.3, а). Определить силу, с которой тело 7 действует на плоскость, и скорость тела У в момент, когда точка 2 достигнет конца паза (точки А), если в начальный момент система покоилась, а точка 2 находилась в верхней точке паза. Трением пренебречь. Решение. Внешними для рассматриваемой системы являются силы тяжести Р\= mg , /2 = fiS и нормальная реакция . Воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и запишем уравнение В проекции на ось Оу имеем
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |