Разделы сайта
Читаемое
Обновления Apr-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика с учетом (14.23) уравнения (14.24) преобразуются к виду (- Х)х - Jyy - Jz = 0; -Jy,x + {Jy-X)y-Jy,zQ, (14.25) ->Ух->Л;; + (Л->?1)г = 0. Система уравнений (14.25) определяет координаты точки M{x,y,z) главной оси инерции (см. рис. 14.25). Ненулевое решение эта система имеет при условии, что = 0. (14.26) Уравнение (14.26) имеет три действительных корня Я , в случае симметричности тензора инерции и действительности его компонент. Допустим, что все корни различные. Подставив их значения в (14.25), получим три системы уравнений, из которых найдем три точки пересечения главных осей инерции для точки О с эллипсоидом инерции. Из системы уравнений (14.25) при известных А.Д/ = 1,2,3) определим отношения x/z и >/z.H3 первых двух уравнений (14.25) получим решение в форме X у Z Л,(Х,) Дз(Х,) А,{Х,У (14.27) где АДА ),(7 = 1,2,3) -алгебраические дополнения элементов последней строки определителя (14.26). Выражения (14.27) представляют собой уравнения прямых, проходящих через точки 0(0,0,0) и M{x,y,z), и являются уравнениями главных осей инерции. Если в системе (14.25) одно уравнение независимое, то любое из уравнений этой системы является уравнением плоскости, в которой лежат главные оси инерции для точки О. Докажем, что двум различным корням и А. соответствуют два ортогональных направления главных осей инерции. Для А и А координаты точек Л/, и будут соответственно л: Уп и х, у, z. Из уравнений (14.24) имеем dF дх x. + ду ду У к + У, + г к =>/(Л +У,Ук +2,z)\ Z, =)ii,{x,x +y,y+z,z). Вычитая из первого уравнения второе, получаем (X, -Х,){х,х, +у,у, +2,z,)-0. (14.28) Если X, , то должен быть равен нулю второй множитель в уравнении (14.28). Этот множитель представляет собой скалярное произведение радиус-векторов главных направлений и Следовательно, их направления ортогональны. Выберем теперь в качестве осей координат главные оси инерции в точке О, Для оси ОХ имеем У = Z = О и из первого уравнения (14.25) получаем {j - А., ) = О. Здесь X 0, поэтому А =Jx- Аналогично можно показать, что Х2 = Jy, Х = Jy . Таким образом, корни А. Х2, Х уравнения (14.26) равны соответственно главным моментам инерции , Jy > Jz Для точки О. Пример 14,6, Для однородной квадратной пластины OABD, масса которой М, а сторона а, определить тензор инерции для осей системы координат Oxyz (рис. 14.26). Рис. 14.26 Решение, Моменты инерции относительно осей декартовой системы координат равны Ма , М ( 2 2\ в точке о Ох- главная ось инерции, так как она перпендикулярна плоскости симметрии пластины, поэтому = = 0. Определим центробежный момент инерции J = jyzdm . Пусть dm = = pidydz, где p, = м/\ dm = dydz . Тогда -y- ]ydydz = -\zdz\ydy = -\ Jy,=J. Тензор инерции имеет вид Пример 14,7, Для условий предыдущего примера определить главные оси инерции пластины для точки О и главные моменты инерции относительно этих осей. Решение, Для нахождения главных моментов инерции составим определитель
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |