(треугольник ОАВ): г, =0,

V J

, 1=0,

2 = Я. Для формулы (14.10) имеем: интеграл в числителе

, в зна-

менателе

н / 2

dz =

.Н V

= R - = - (объем конуса 3 я

). Окончательно

Рис. 14.11

получаем

Л =0,ЗЛЖ

Замечание. Момент инерции конуса относительно оси Oz можно вычислить и другим способом. Согласно (рис. 14.12), = jrvm . Элементарная масса dm

пусть будет равна массе полого цилиндра высотой Л, т. е. dm = Inrhpdr . Из подобия треугольников EDB и ОАВ имеем

. Тогда dm=2nQ{R-r)rdr, а Н R R

= 27срЯ

= 271рЯ

4 5

: 0,171РЯ/?

где М = pnRH/з - масса конуса.

Чтобы определить и Jy, необходимо вычислить интеграл вида (14.12):

Согласно (14.11),

дг > 2 30

Пример 14.1. Определить моменты инерции конуса относительно осей Су иАУ(ш. рис. 14.11).

Решение. Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера,

Jry=Jy-M{OCf.

где ОС = А 4 , тогда

J,y = м(о.15/?Чо,1Я)- = 0,15м(/?Ч0,25Я).

Аналогично

где АС = 3/41/ . Откуда

=0,6Л/( Ч0,25/).

Пример 14.2. Определить момент инерции треугольника относительно оси Ох (рис. 14.13).

Решение Момент инерции

где dm = р,/,б/у; р, = M/S ; =

= -{h-y) (р.. Л - плотность и h

плогшип. треугольника соответственно). После подстановки имеем

j = Kl(h-y}dy- JL\Hy)dy = ; 5 = . Откуда находим

Рис. 14.13

Пример 14.3. Определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно координатных осей (рис. 14.14).

Рис. 14.14

Решение, Момент инерции относительно оси Oz

где dm = pcdxdy, р = M/{abc) . у После подстановки получим

Аналогично находим

Пример 14.4. Определить момент инерции тора относительно оси симметрии Сг (рис. 14.15).

Рис. 14.15

Решение. Воспользуемся формулой (14.10), в которой /j(z)= r-r -z.

/2(г)= R + Jkq -z . Вычислим интегралы в числителе и знаменателе, используя подстановку г = ГоС08ф :

/, = JSr{r + - z)ffdz = Шг + sin ism фф = -/(. о

= 71/?Го(4/?-+Зго2);

l2=4R

r-zdz = 4R sin ф/ф = 27i/?ro.

Окончательно имеем